Interpretación geométrica de integrales definidas con $\pi$ en el resultado

Question

¿Cuál es la interpretación geométrica de la siguiente integral?

¿Qué es una agradable interpretación geométrica de la siguiente integral (posiblemente en relación a un círculo) que enfatiza la razón por la cual obtenemos el resultado de π en el lado derecho?

$$\int^\infty_{-\infty} \frac{1}{1+x^2}dx = \pi$$

Lo sé, por supuesto que la integral indefinida para el integrando es $\tan^{-1} x$.

En las respuestas, yo también agradecería ejemplos de otros integrales con una interpretación geométrica.

Answer 1

Considere la posibilidad de la proyección estereográfica de la línea en el círculo.

$\hspace{1cm}$

Deje $x$ ser la distancia desde el punto de tangencia y $r$ ser la distancia desde el centro del círculo. Usando triángulos semejantes en el margen derecho, tenemos que $\mathrm{d}x$ sobre la tangente de la línea se proyecta en $\frac{\mathrm{d}x}{r}$ sobre la pieza paralela a la del círculo. Entonces, de nuevo por semejanza de triángulos en la margen izquierda, que se reduce a $\frac{\mathrm{d}x}{r^2}$. Por lo tanto, la proyección de $\mathrm{d}x$ sobre el círculo de los rendimientos $$ \frac{\mathrm{d}x}{r^2}=\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\etiqueta{1} $$ La integración de $(1)$ sobre la totalidad de la línea real le dará la longitud de la mitad del círculo, $\pi$. Es decir, $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\pi\etiqueta{2} $$

Answer 2

Supongo que esto será un poco largo para un comentario, aunque debe ser más un comentario de que los publique como una respuesta.

Usted tiene que ser cuidadoso de no dar un significativo interpretación geométrica que no tiene uno. En tu ejemplo tienes \[ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2} \; \mathrm{d}x \] El uso de $x=\tan(u)$ esta integral es el mismo \[ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2} \; \mathrm{d}x= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \; \mathrm{d}u=\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi\]

Se puede decir que el $\tan$ es un diffemorphism que hace que desde el intervalo de $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ los números Reales.

Pero para asegurarse de que usted puede obtener de \[\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} 1 \; \mathrm{d}u = \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \sqrt{\sin^2(u)+\cos^2(u)} \; \mathrm{d}u \] Ok ahora hacemos un 2 D transformación a coordenadas polares y ver que nuestra integral es el mismo que \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \sqrt{\sin^2(u)+\cos^2(u)} \; \mathrm{d}u= \frac{1}{2} \cdot \int_\gamma \| r\| \; \mathrm{d}r \] donde $\gamma$ es el círculo unitario, de modo que mida la mitad de la circunferencia del círculo unitario.

Answer 3

Supongamos que hay una fuente de luz en $(0,0)$ que brilla en el derecho semicírculo $x^2+y^2=1,\ x\ge 0.$ Y suponga que la intensidad de la luz es proporcional a arclength a lo largo del círculo, de modo que el total de la luz que emiten es $\pi$, la longitud de la semicircunferencia. Ahora, como todos sabemos, la luz se disipa de acuerdo a una ley del cuadrado inverso. Así que si podemos ahora calcular la cantidad total de luz que golpea la línea de $x=1$, que en total deben también ser $\pi$. El cuadrado de la distancia de$(0,0)$$(1,y)$$1+y^2$, tendríamos que, en la búsqueda de la total de la luz que incide en la línea, se computing $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+y^2}.$$ Admito que es un poco fantasiosa, pero pensé que me gustaría añadir. Tal vez alguien puede hacer que el argumento riguroso.

EDIT: (No era una broma de los inocentes.) Una falla importante en el anterior, es que en un lineal de la situación, la intensidad de la luz sería caer como la inversa de la primera potencia de la distancia, no es cuadrado inverso. Pero hay un factor de ajuste de $1/\sqrt{1+x^2}$, debido al hecho de que la línea de $x=1$ es una variación de la inclinación con respecto a la dirección de los rayos de luz. Así que creo que el "april fool" argumento podía ser rescatado, pero es probable que no vale la pena, en vista de robjohn claro argumento (no dependiendo de la física, la luz, etc).

Answer 4

Por definición :

$$a,b\in\Bbb R\;,\;a,b>0\;:\;\;\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{a,b\to\infty}\int\limits_{-a}^b\frac{dx}{1+x^2} =\left.\lim_{a,b\to\infty}\arctan x\right|_{-a}^b=$$

$$=\lim_{a,b\to\infty}\left(\arctan b-\arctan(-a)\right)=\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi$$

La idea de una interpretación geométrica es en los comentarios anteriores.

Answer 5

Interpretación geométrica de un integral definida es el área firmado entre la gráfica de integrante y el eje x.
Ahora echemos un vistazo a la gráfica de su función. Que $\int^\infty_{-\infty} \frac{1}{1+x^2}dx = \pi$ significa que si usted toma un rectángulo con longitudes de lado $1$ y $\pi$, usted puede cortar en trozos infinitamente pequeños y llenar la región entre la curva y el eje x.