Elementos principales en $\mathbb{Q}[[X,Y,Z]]$ cuya condición de serie infinita no se ve modificada por una multiplicación arbitraria

Question

Supongamos que $R$ es el anillo $\mathbb{Q}[[X,Y,Z]]$ . Estoy interesado en encontrar series de potencia $f(x,y,z) \in R \setminus \mathbb{Q}[X,Y,Z]$ que son, en primer lugar, elementos primos en $R$ sino que también satisface la siguiente condición: si $g(x,y,z)$ es cualquier serie de potencia formal no nula, entonces $fg$ sigue en $R \setminus \mathbb{Q}[X,Y,Z]$ . En otras palabras, me gustaría encontrar ejemplos de series infinitas de primos que sean "estables", en el sentido de que su producto con otras series de potencias (no nulas) siempre da lugar a otra serie infinita.

El problema es que muchas series de potencias se pueden multiplicar por polinomios ordinarios de manera que el resultado ya no es una serie de potencias infinita. Algo así como $e^x$ es bastante estable, ya que si $f(x)$ fuera un polinomio, si $f(x)e^x$ ya no fuera una serie infinita, entonces podríamos evaluar esto en $0$ , lo que implica $e$ es la raíz de un polinomio en $\mathbb{Q}$ .

Sin embargo, $e^x$ no es primo (es una unidad) y el hecho de que sea una unidad significa que existe una serie infinita (es decir, su inversa) tal que $e^x(e^x)^{-1}$ ya no es una serie infinita.

Estaba pensando en usar algo como $y + e^x - 1$ que es $y + x + x^2/2 + x^3/3! + ...$ , claramente una no unidad. Sin embargo, no tengo ni idea de si este elemento es primo o no. Tal vez podría relacionar el trascendentalismo de $e$ a $y + e^x - 1$ siendo estable como una serie infinita, como hice en el último párrafo.

Si esto funciona, entonces tal vez podría trabajar en otros números trascendentales, por ejemplo $\sum\limits_{n \geq 1} 10^{-n!}$ para que $y + \sum\limits_{n \geq 1}10^{-n!}x^n$ es primordial y estable. Sin embargo, no sé si este es un enfoque fructífero.

Answer 1

Tomar una serie de potencias $t(X)\in X\mathbb Q[[X]]$ que es trascendental sobre $\mathbb Q[X]$ (esto existe al comparar las cardinalidades de las series de potencias y las series de potencias algebraicas). Consideremos $f(X,Y,Z)=Y-t(X)$ . Supongamos que $$f(X,Y, Z)g(X,Y,Z)=P(X,Y,Z)\in \mathbb Q[X,Y,Z].$$ Escriba $P=P_0(X,Y)+P_1(X,Y)Z+...$ y sustituirlo por $Y$ con $t(X)$ en la igualdad anterior: $$ 0 = P(X, t(X), Z)=P_0(X, t(X))+P_1(X, t(X))Z+...$$ Esto implica que $P_i(X,Y)=0$ Por lo tanto $P=0$ y $g=0$ .

Editar El elemento $f(X, Y, Z)$ es primo porque $\mathbb Q[[X, Y, Z]]/(f)=\mathbb Q[[X, Z]]$ es un dominio integral.

Para responder a la pregunta de YACP en los comentarios: la localización $S^{-1}Q[[X, Y, Z]]$ tiene la dimensión de Krull $2$ como el ideal máximo de $\mathbb Q[[X, Y, Z]]$ mets $S$ Esta localización tiene una dimensión máxima de $2$ . Sea $s(X)\in X\mathbb Q[[X]]$ ser trascendental sobre $\mathbb Q[X, t(X)]$ (argumento de cardinalidad: el grado trascendental de $\mathbb Q[[X]]$ en $\mathbb Q[X]$ es infinito e incluso incontable). Consideremos el ideal $\mathfrak p$ generado por $Y-t(X), Z-s(X)$ . Es primo porque el cociente $\mathbb Q[[X, Y, Z]]/\mathfrak p=\mathbb Q[[X]]$ es integral. El mismo argumento anterior demuestra que $\mathfrak p\cap S=\emptyset$ . Por lo tanto, $\mathfrak p$ define un ideal primo de altura $2$ en la localización.