¿Punto de acumulación en el infinito?

Question

Esta es una pregunta de seguimiento a la que publiqué aquí . Así que mi nueva pregunta tiene que ver con los puntos de acumulación y el infinito. ¿Se puede considerar el infinito como un punto de acumulación? Por ejemplo, considere el siguiente conjunto $$S = \{ 2^n + \frac{1}{k} \space : \space n, k \in N \}$$ Ahora bien, si arreglamos $n$ el conjunto tiende a $2^n$ pero si arreglamos $k$ el conjunto tiende a $\infty$ . ¿Significa esto que existen puntos de acumulación en $2^n$ y $\infty$ ? Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Cuando se piensa en los límites y en los puntos de acumulación hay que pensar realmente en términos topológicos y tener en cuenta que los nombres de los puntos de su espacio son sólo nombres, nada más. Si tu espacio no contiene un punto llamado $\infty$ entonces el infinito no puede ser un punto de acumulación de nada. Así que eso sería lo primero que habría que notar. Ahora bien, hay varias formas diferentes y útiles de adosar infinit(y)(ies) en espacios conocidos. Por encima de usted está interesado en un subconjunto de $\mathbb R$ (que ciertamente tiene todo $2^n$ como puntos de acumulación como mencionas) por lo que tienes que considerar formas de adjuntar algo que te gustaría llamar "infinito" en el espacio $\mathbb R$ . Una forma de hacerlo es añadir dos infinitos, a saber $\infty$ y $-\infty$ . Entonces hay que ampliar la topología para incluirlas.

Hay varias formas naturales de hacerlo, y te llevarán a construir una topología sobre $\mathbb R \cup \{\pm \infty \}$ que es homeomorfo a $[-1,1]$ con la topología habitual. Con esa topología $\infty$ será un punto de acumulación de su conjunto. Equivalentemente, aplicando el homeomorfismo al conjunto se obtendrá un subconjunto de $[-1,1]$ que tiene $1$ como punto de acumulación. Esto ilustra bien que los nombres de los puntos son sólo nombres, nada más, y ahora $\infty$ se ha desmitificado por completo.

Otra posibilidad de añadir el infinito a $\mathbb R$ es fusionar $\infty$ y $-\infty$ en un único infinito. El espacio resultante va a ser homeomorfo a un círculo, digamos $\{z\in \mathbb C \mid |z|=1\}$ . Esto se puede hacer de tal manera que el homeomorfismo mapea el nuevo infinito a cualquier punto del círculo que se quiera, mostrando de nuevo la insignificancia de los nombres de los puntos en el espacio.

Answer 2

La respuesta a la pregunta es sí.

Si se trata de $+\infty$ en lugar de $-\infty$ y también frente a un único $\infty$ en ambos extremos de la línea, entonces una vecindad abierta básica de $+\infty$ es un conjunto de la forma $$(a,+\infty] = \left\{ x\in\mathbb R\cup\{+\infty\} : x>a \right\} = \left\{ x\in\mathbb R\cup\{+\infty\} : (x\in\mathbb R\ \&\ x>a)\text{ or }x=+\infty \right\}.$$ Y un barrio abierto de $+\infty$ es cualquier conjunto abierto que tiene como subconjunto alguna vecindad abierta básica de $+\infty$ .

El punto $+\infty$ es un punto de acumulación de un conjunto $A$ precisamente si cada vecindad abierta de $+\infty$ se cruza con $A$ en al menos un punto distinto de $+\infty$ .