Definición equivalente de algebraicamente cerrado

Question

En el texto de Álgebra de Hungerford, se afirma que un campo $K$ es algebraicamente cerrado si existe un subcampo $F$ tal que $K$ es algebraico sobre $F$ y todos los polinomios en $F[x]$ dividido en $K[x]$ . Esta parece ser una condición mucho más débil que $K$ siendo algebraicamente cerrado. No veo por qué es cierto (no se demuestra en el texto)

¿Hay alguna razón en particular para que esto sea así?

Answer 1

Si $\alpha$ es algebraico sobre $K$ entonces $\alpha$ es algebraico sobre $F$ . El polinomio mínimo se divide sobre $K$ . Así, $\alpha \in K$ .

Así que esto es bastante inmediato. Sin embargo, hay una condición aún más débil: Todo polinomio no constante en $F[x]$ tiene alguna raíz en $K$ . Entonces también se deduce que $K$ es algebraicamente cerrado; pero este es un teorema no trivial (Isaacs, Raíces de polinomios en extensiones algebraicas de campos o: Gilmer, Nota sobre el cierre algebraico de un campo ).

Answer 2

Dejemos que $\bar{K}$ sea el cierre algebraico de $K$ y arreglar $\alpha\in \bar{K}$ . Entonces $\alpha$ es algebraico sobre $F$ porque las extensiones algebraicas son transitivas. En particular, esto implica que el polinomio mínimo de $\alpha$ en $F$ se divide en $K[x]$ para que $\alpha \in K$ . Así que tenemos $K=\bar{K}$ y $K$ es algebraicamente cerrado.