¿Es $\varphi (n) / n$ la porción máxima de $n$-ciclos en un grupo de grado $n$?

Question

Deje de $G$ ser un grado $n$ el grupo, es decir, un subgrupo del grupo simétrico $S_n$. Deje que $p(G)$ ser la cantidad de $n$-ciclos de $G$, dividido por el tamaño de $G$.

Ejemplos:

1. Si $G$ es cíclica transitiva, entonces $p=\varphi(n)/n$.
2. Si $G=S_n$, entonces $p=1/n$.
3. (Si $G$ no es transitiva, entonces $p=0$)

La pregunta es si $p(G)\leq \varphi(n)/n$ por cada grado $n$ el grupo?

Nota:

1. Uno puede ver que $p(G)=k/n$, donde $k$ es el número de clases conjugacy de $n$-ciclos, así que la respuesta es SÍ si $n$ es primo.
2. Numérica de la prueba demuestra que la respuesta es SÍ para $n\leq$ 30 y para grupos primitivos para $n\leq 1000$.
3. Hay no-cíclico de los grupos de alcanzar el límite de $\varphi(n)/n$, por ejemplo, la corona de producto de grupos cíclicos.

Edit: Recientemente Joachim König resuelto mediante la clasificación tanto en la inducción de la base como Michael Giudici mencionados y también en la inducción de paso. Supongo que debemos esperar a que el papel que está ahora en proceso de revision.

Answer 1

Es cierto para todos los grupos primitivos: Los grupos primitivos de grado n que contiene un n-ciclo de forma independiente clasificados en

Li, Cai Heng El finito de primitivos permutación de grupos que contienen un abelian regular subgrupo. Proc. Londres Matemáticas. Soc. (3) 87 (2003), no. 3, 725--747. )

y

Jones, Gareth R. Cíclico regular subgrupos de la primitiva de permutación de grupos. J. Teoría de Grupo 5 (2002), no. 4, 403--407.

Son los grupos de G tales que

-$C_p\leqslant G\leqslant AGL(1,p)$ para p un primer

-$A_n$ para n impar, o $S_n$

-$PGL(d,q)\leqslant G \leqslant P\Gamma L(d,p)$: aquí no hay una única clase de cíclico subgrupos generados por un n-ciclo, con excepción de $G=P\Gamma L(2,8)$ en cuyo caso hay dos.

-$(G,n)=(PSL(2,11),11), (M_{11},11), (M_{23},23)$

Todos estos grupos de satisfacer los obligados.

Gordon Royle ha señalado a mí que el límite no se aplica a elementos de orden n. Los más pequeños ejemplos que no cumplen con el límite son de grado 12 y son los grupos numerados 263 y 298 en el catálogo de grupos de grado 12 en el Magma.

Answer 2

Esta respuesta existe para grabar un falso planteamiento que yo tenía.

Deje de $G$ ser un subgrupo de $S_n$. Llamar a un subgrupo de $G$ "máximo cíclico" si es generado por un $$n-ciclo. Declaración falsa: Cualquiera de los dos al máximo cíclico subgrupos son conjugadas.

Esto es cierto en un número de casos, e implica el resultado reivindicado. Sin embargo, como Dmitri me llevó a realizar, es falso por la alternancia de grupo $A_9$.

Yo solía tener una respuesta más larga de explicar esto. He eliminado y reemplazado con esta respuesta porque fue un upvote que, como yo lo entiendo, se eliminó este excelente pregunta sin respuesta de la lista. Así que por FAVOR NO VOTE a ESTO! Vamos a ver si alguien puede venir para arriba con una respuesta real!