La historia de la potencia de un punto con respecto a un círculo

Question

Existe un concepto de una "potencia de un punto con respecto a un círculo".

Si uno tiene un punto que es la distancia a $d$ distancia desde el centro de círculo y que el círculo tiene radio de $r$, entonces el poder de este punto se dice que el ser $d^2-r^2$.

Soy incapaz de encontrar mucho acerca de la historia de este concepto, salvo que se originó en algún lugar en mitad de la $19$th siglo. ¿Alguien sabe por qué este concepto es útil y por qué se desarrolla?

Answer 1

El término "potencia de un punto" fue definido por primera vez por Jakob Steiner, en 1826, en un trabajo que se llama "Un Par de Observaciones Geométricas." Un breve artículo sobre este tema se puede encontrar aquí.

Steiner observa que, si consideramos un círculo de radio $r$ y un punto de $P$ no en el círculo, y examinar cualquier línea que intersecta $P$ y dos puntos en el círculo, $A$$B$, entonces nos encontramos con que $AP\cdot PB$ es constante (es decir, el producto de las longitudes de los dos segmentos es constante) para cualquier $P$ dentro o fuera del círculo. Este valor constante es $|r^2 - d^2|$ $d$ siendo la distancia mínima de $P$ a del círculo. Una forma en que esta idea se utiliza es en la definición del eje radical de dos circunferencias: un punto sobre el eje radical de dos circunferencias si tiene la misma potencia con respecto a ambos.

Answer 2

Tenga en cuenta que la definición (y la igualdad) sostiene que si la línea es tangente al círculo.

E. g., puede que la línea se cruzan $P$ y sólo un punto de $T$ del círculo (es decir, es una línea tangente). En ese caso, $PT^2$ permanece constante e igual a $|r^2-d^2|$ donde $d$ es la distancia de$P$$T$, es decir, la distancia mínima de $P$ a un círculo en la línea de intersección.