Para $n\in\mathbb N$, la Campana número $B_n$ es un número de formas de dividir el entero rango de $[1,\,n]$ en pares discontinuo no vacía de subconjuntos. E. g. $B_3=5$ porque $${\large\cup\,}\{\{1,2,3\}\}={\large\cup\,}\{\{1\},\{2,3\}\}={\large\cup\,}\{\{2\},\{1,3\}\}={\large\cup\,}\{\{3\},\{1,2\}\}={\large\cup\,}\{\{1\},\{2\},\{3\}\}.$$ Hay una buena generalización de la Campana de los números arbitrarias argumentos complejos, de manera similar a cómo el número de permuations de $n$ elementos (factorial) se generaliza a la función gamma $\Gamma(z)$?
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QuentinUK
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Uno puede utilizar Ramanujan maestro del teorema. Como se señaló en los comentarios, hemos
$$B(x) := e^{e^x-1} = \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{x^n}{n!}.$$
La función de $F(x) = B(-x)-e^{-1}$ es de rápida desintegración como $x \to +\infty$, y por lo tanto la integral
$$L(F,s):= \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty F(x) x^s \frac{dx}{x}$$
converge para cada $s>1$. Por un argumento estándar, podemos reescribir esto como
$$L(F,s):= \frac{1}{\Gamma(s)(1-e^{2\pi i s})}\int_C F(x) x^s \frac{dx}{x}$$
donde $C$ es el ojo de la cerradura de contorno. La función de $L(F,s)$ ahora tiene sentido para todos compleja $s$. En $s=-n$ donde $n$ es un número entero positivo, el residuo teorema muestra que
$$L(F,-n) = \frac{(-1)^n}{n}\frac{d^n}{dx^n}\Big|_{x=0}F(x) = B_n/n.$$
Por lo tanto, la función de $G(s)=sL(F, -s)$ satisface $G(n)=B_n$ por cada $n>0$.
Sería interesante ver si esto le da la misma función que el sugerido por Lucian en los comentarios!
Como se ha mencionado en los comentarios, hay varios posibles generalizaciones:
1. Dobiński fórmula:
$$B_x=\sum_{k=1}^\infty\frac{k^x}{e\,k!}$$
2. Cesàro representación integral:
$$B_x=\frac{2\,\Gamma(x+1)}{\pi\,e}\int_0^{\pi } \sin (t\,x)\sin \left(e^{\cos t}\sin\sin t\right)e^{e^{\cos t}\cos\sin t}\,dt$$
Curiosamente, los resultados de estas dos fórmulas de acuerdo sólo por entero positivo $x$, pero son diferentes para las fracciones de $x$.
