Integral/infinito suma, a Bessels que pop-up en la óptica de la teoría de la coherencia

Question

En la propagación parcialmente coherente campos ópticos, la siguiente integral aparece:

$$I_1=\int_0^{2\pi} e^{i(a\cos[\theta]+b\cos^2[\theta])}d\theta,$$

donde $a$ $b$ son números reales. Si tenemos en cuenta la reducción de la potencia del coseno nos encontramos con una relativa integral:

$$I_2=\int_0^{2\pi} e^{i(a\cos[\theta]+b\cos[2\theta])}d\theta.$$

Si utilizamos la Jacobi-la Ira de expansión por el contrario, podemos considerar una infinita suma:

$$I_2=2\pi\sum_{m=-\infty}^{\infty}i^{-m}J_{2m}(a)J_m(b)$$

Sin embargo, en ninguno de los casos he sido incapaz de encontrar una solución de forma cerrada para $I_2$. Sería muy útil para encontrar una solución de forma cerrada con el fin de reducir el tiempo de cálculo. Alguna idea?

Answer 1

Una cosa interesante acerca de $I_1$ es la que satisface los PDE. En concreto, se satisface una versión de la ecuación de Schroedinger:: $$\partial_a^2 I_1 =-\int_0^{2\pi} \cos^2 \theta\;e^{i a\cos[\theta]+i b\cos^2[\theta])}d\theta=i\partial_b I_1.$$ Similar remarks apply to $I_2$. Since the $=0$ and $b=0$ de los casos son tanto reducible a un cero de orden función de Bessel, esto sugiere que un ataque a lo largo de la PDE líneas (por ejemplo, la separación de variables, el método de las características) puede ser más fructífera que la integración directa.