El PDF de una distribución Normal es
$$f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}dx$$
pero en términos de $\tau = 1/\sigma^2$ es
$$g_{\mu, \tau}(x) = \frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\tau(x-\mu )^2}{2 }}dx.$$
El PDF de una distribución Gamma es
$$h_{\alpha, \beta}(\tau) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{\tau}{\beta }} \tau^{-1+\alpha } \beta ^{-\alpha }d\tau.$$
Su producto, ligeramente simplificado con fácil álgebra, es por lo tanto
$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x,\tau) =\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)\sqrt{2 \pi}} e^{-\tau\left(\frac{(x-\mu )^2}{2 } + \frac{1}{\beta}\right)} \tau^{-1/2+\alpha}d\tau dx.$$
Su parte interior, evidentemente tiene la forma $\exp(-\text{constant}_1 \times \tau) \times \tau^{\text{constant}_2}d\tau$, lo que es un múltiplo de una función Gamma cuando se integra en todo el rango $\tau=0$$\tau=\infty$. Integral por lo tanto es inmediata (obtenido mediante el conocimiento de la integral de una distribución Gamma es la unidad), dando a la distribución marginal
$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x) = \frac{\sqrt{\beta } \Gamma \left(\alpha +\frac{1}{2}\right) }{\sqrt{2\pi } \Gamma (\alpha )}\frac{1}{\left(\frac{\beta}{2} (x-\mu )^2+1\right)^{\alpha +\frac{1}{2}}}.$$
Tratando de coincidir con el patrón proporcionado por el $t$ distribución de la muestra hay un error en la pregunta: el PDF de la t de Student la distribución en realidad es proporcional a
$$\frac{1}{\sqrt{k} s }\left(\frac{1}{1+k^{-1}\left(\frac{x-l}{s}\right)^2}\right)^{\frac{k+1}{2}}$$
(el poder de la $(x-l)/s$$2$, no $1$). La coincidencia de los términos que se indica $k = 2 \alpha$, $l=\mu$, y $s = 1/\sqrt{\alpha\beta}$.
Aviso que no Cálculo fue necesario para esta derivación: todo era cuestión de buscar las fórmulas de la Normal y Gamma de los PDFs, llevando a cabo algunos trivial manipulaciones algebraicas que involucran productos y poderes, y la coincidencia de patrones de expresiones algebraicas (en ese orden).
