Dudo que muchos estadísticos tengan que usar cálculo vectorial tal como se enseña para física e ingeniería. Pero por si acaso, aquí hay algunos temas que lo utilizarían, al menos tangencialmente. El tema subyacente aquí es que las funciones holomorfas de análisis complejo, que están compuestas de funciones armónicas, están íntimamente vinculadas a través de las ecuaciones de Cauchy Riemann tanto con los teoremas de Stokes como con los de Green. Estas funciones pueden ser estudiadas tanto examinado el interior de su dominio junto con su frontera.
Corrientes de Probabilidad. Esto no es solo para la mecánica cuántica. En general, las difusiones de probabilidad surgen al estudiar distribuciones de probabilidad que varían con el tiempo de forma suave. Esto incluye versiones estocásticas de sistemas clásicos, como la ecuación del calor, Navier Stokes para la dinámica de fluidos, ecuaciones de onda para la mecánica cuántica, etc. Ejemplos de ecuaciones incluyen la ecuación de Fokker-Planck y las ecuaciones de Kolmogorov hacia atrás/hacia adelante que involucran divergencias, que a su vez se relacionan con ecuaciones de calor, integrales de Feynman-Kac, problemas de Dirichlet y funciones de Green. Las palabras clave aquí son funciones complejas armónicas, que satisfacen la propiedad del valor medio, que a su vez es consecuencia del teorema integral de Green y el teorema de Stokes. Un ejemplo clásico es calcular el tiempo de salida de una difusión de una región cerrada, lo que se reduce a evaluar integrales en el límite de la superficie y explotar la armonización dentro de la región.
El ejemplo principal aquí son los problemas que involucran movimiento browniano y, en general, la amplia clase de Difusiones de Ito. Un libro maravilloso (¡y excéntrico!) sobre esto es Green, Brown and Probability del legendario Kai Chung.
El Teorema de Desintegración para la probabilidad es implícito en el teorema de Stokes, en el sentido de que uno desintegra una medida de probabilidad tridimensional en el límite de la superficie que encierra su soporte.
En la mecánica estadística y en los campos aleatorios de Markov, hay una gran prevalencia de conservación en forma de corrientes. El Modelo de Ising, especialmente en criticidad, y sus parientes pueden ser estudiados desde el punto de vista de funciones armónicas y holomorfas discretas. De las ecuaciones de Cauchy Riemann, uno recupera tanto el Teorema de Green como el teorema de Stokes, en el sentido de que las corrientes son tanto libres de divergencia como libres de rotación, lo que juntos implican que el campo subyacente es holomorfo. Una gran referencia sobre esto es el trabajo de Smirnov, Chelkak and Dominil-Copin.
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Tengo una MA en econ y nunca recuerdo haber necesitado divergencia o rizo (o los teoremas que enumeraste). Si hay aplicaciones (tal vez a un DSGE), sería a nivel de doctorado. Sin embargo, los gradientes se utilizan en la optimización, lo cual es importante para la economía y la gestión de carteras.
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Los campos vectoriales realmente aparecen de manera fundamental en la respuesta en stats.stackexchange.com/questions/29121/…, lo que muestra que pueden surgir en lugares inesperados. Además, la cadena de comentarios después de esa respuesta sugiere (por lo menos para mí) que un estadístico muy experimentado habría apreciado mejor esta teoría si hubiera tenido más entrenamiento y práctica en métodos geométricos y analíticos.
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Es muy difícil lograr que incluso los físicos se interesen en los teoremas y su demostración, incluso con el teorema de Stokes, que es muy importante en la física. ¡No tengo ningún recuerdo de la demostración en absoluto! Sin embargo, recuerdo cómo usarlo. Así que, no me preocuparía demasiado por hacerlo interesante, es básicamente imposible.