Doble prueba de valor absoluto: $||a|-|b|| \le |a-b|$

Question

Supongo que sé cómo resolver las desigualdades con valor absoluto, pero tengo problemas con esta.

$||a|-|b|| \le |a-b|$

$a,b \in \mathbb {R}$

Traté de resolver la desigualdad de esta manera:

Caso 1: $a>0$

Caso 2: $a<0$

Empecé con el caso 1. que tenemos dos posibilidades $b<0$ y $b>0$

Primero tomé $b<0$ y tenía otras dos posibilidades

$|a+b|>0$

$|a+b|<0$

Yo tomo $|a+b|>0$ y en este caso tenía dos posibilidades según el lado derecho de la desigualdad

$|a-b|>0 ........... a+b \le a-b ......b \le -b$

$|a-b|<0..........a+b \le -a+b .......a \le -a$

Puedo hacer lo mismo con otras posibilidades, pero ¿cómo sé si mi solución (o incluso mi método) es la correcta? Hay tantas condiciones, que me pierdo en ellas.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

$$ ||a|-|b||\le |a-b| $$ si $$ ||a|-|b||^2\le |a-b|^2 $$ si $$ a^2 -2|ab| +b^2 \leq a^2-2ab+b^2 $$ si $$ ab \leq |ab|, $$ y la última desigualdad es siempre cierta.

Answer 2

Hay una solución más sencilla.

En primer lugar, observa que la desigualdad que quieres mostrar es equivalente a $$|a| - |b|\leq |a-b| \text{ and } |b| - |a|\leq |a-b|$$ Veamos cómo mostrar la primera. Tenemos $|a| = |(a-b) + b|$ . Utilizando la ineaidad triangular, esto implica que $|a|\leq |a-b| + |b|$ Por lo tanto $|a|-|b|\leq |a-b|$ . Puedes mostrar la otra desigualdad exactamente igual.

Answer 3

En lugar de considerar los signos de $a$ y $b$ Por separado, puedes considerar sus signos relativos: si tienen el mismo signo (o uno es cero), entonces los dos lados son iguales, mientras que si tienen signos diferentes (no cero), el lado derecho es mayor (igual a la suma de los valores absolutos).

Si esto no es obvio para usted, entonces puede simplificar un poco asumiendo que $a$ es no negativo: se puede hacer porque al voltear los signos de $a$ y $b$ ambos no cambia ninguna de las partes.