Uno puede encontrar una solución de forma cerrada para $\ln x=\frac{1}{x}$,

Question

Hay una forma cerrada de la solución de la ecuación de $\ln x=\frac{1}{x}$? No podía encontrar una prueba y yo no conozco a ningún teoremas que dice que cuando una forma cerrada de la solución existe.

Answer 1

La verdadera solución es:

$$\ln(x)=\frac{1}{x}\Longleftrightarrow$$ $$x\ln(x)=1\Longleftrightarrow$$ $$e^{x\ln(x)}=e^{1}\Longleftrightarrow$$ $$x^x=e\Longleftrightarrow$$ $$x=e^{\text{W}(1)}$$

Con $\text{W}(z)$ es el producto de la función de registro.

Answer 2

El (verdadero) la solución es $1/W(1)$ donde $W$ es la función W de Lambert.