Schwartz Funciones de Clase en Enteros

Question

En $\mathbb{R}$, podemos definir el conjunto de Schwartz clase de funciones infinitamente diferenciables funciones que

$$ \lim\limits_{|x|\to \infty} | x^{m}f^{(n)}(x) | = 0 $$

para todos los $m, n \in \mathbb{N}$ $f^{(n)}$ indica el $n^{th}$ derivado de la $f$.

Sin embargo, me preguntaba Schwartz clase de los enteros, y se me ocurrió la siguiente:

$$ \mathcal{S}(\mathbb{Z}) = \{ f : \mathbb{Z} \to \mathbb{C} \;\; | \;\; \lim\limits_{|n| \to \infty} n^{k}f(n) = 0 \;\; \forall\,\, k \in \mathbb{N} \}$$

Los primeros ejemplos que me vienen a la mente son las restricciones de Schwartz funciones en $\mathbb{R}$$\mathbb{Z}$. Por ejemplo, $f(n) = e^{-n^{2}}$ es la restricción de la función de Gauss.

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Me preguntaba si el contrario es cierto. Es decir, dada una función en $\mathcal{S}(\mathbb{Z})$, puede ser extendido a una función en $\mathcal{S}(\mathbb{R})$?

Estaba pensando que podríamos suavemente interpolar la función entre los números enteros, donde ya está definido. Queda la pregunta acerca de la rápida desintegración de esta función. Sin embargo, puesto que la función original va a cero bastante rápido, creo que esto vaya a cero lo suficientemente rápido, ya que las pistas no se puede cambiar de forma errática en este caso.

Así, es la afirmación verdadera? Y si es así, ¿cuál es la justificación?

Answer 1

Lo GiuseppeNegro dice es verdad. De hecho, vamos a $f_0$ $\mathcal{S}(\mathbb Z)$ como se define anteriormente, y extender a una función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ como sigue: entre el$n$$n+1$, vamos a $f$ ser igual a$f_0(n)$$\left[n,n+\frac{1}{3}\right]$, e igual a $f_0(n+1)$$\left[n+\frac{2}{3},n+1\right]$. En $\left[n+\frac{1}{3},n+\frac{2}{3}\right]$, extender $f$ lineal. Entonces, para todos los $x\in\mathbb R$, usted tiene que $|f(x)|\leq\max\{|f([x])|,|f([x]+1)|\}$ donde $[x]$ es la función del suelo de $x$.

Ahora, vamos a $\phi$ ser infinitamente derivable la función, con el apoyo en $\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]$ e integral igual a $1$, y definir $g$ a ser la convolución de $f$ y $\phi$: $g=f\ast\phi$. Se puede comprobar que, si $k\in\mathbb N$, $k$- ésima derivada de $g$$x$$g^{(k)}(x)=\left(f\ast\phi^{(k)}\right)(x)$. También, si $n\in\mathbb Z$, luego $$g(n)=(f\ast\phi)(n)=\int_{\mathbb R}\phi(y)f(n-y)\,dy=\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}}\phi(y)f(n-y)\,dy=\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}}\phi(y)f(n)\,dy=f(n)=f_0(n),$$ so $g$ is equal to $f_0$ on $\mathbb Z$.

Vamos $k,l\in\mathbb N$. $|\phi^{(k)}|$ está limitada anteriormente por algunos $C_k>0$, por lo que tiene que $$\left|x^lg^{(k)}(x)\right|\leq|x|^l\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}}\left|\phi^{(k)}(y)f(x-y)\right|\,dy\leq|x|^lC_k\int_{x-\frac{1}{3}}^{x+\frac{1}{3}}|f(y)|,$$ which is bounded by $$\frac{2}{3}C_k|x|^l\sup\left\{|f(y)|:x-\frac{1}{3}\leq y\leq x+\frac{1}{3}\right\}.$$ Then, using the property $|f(x)|\leq\max\{|f([x])|,|f([x]+1)|\}$ and the fact that $f_0$ is in $\mathcal{S}(\mathbb Z)$, you have that $$\lim_{|x|\to\infty}\left|x^lg^{(k)}(x)\right|=0,$$ so $g$ is in $\mathcal{S}(\mathbb R)$ and extends $f_0$.