Demostrar que la familia de abrir establece en $\mathbb{R}$ tiene cardinalidad igual a $2^{\aleph_0}$

Question

Deje $\mathcal{T}$ ser parte de la familia de todos los conjuntos en $\mathbb{R}$. Mostrar que $| \mathcal{T}|=2^{\aleph_0}$

$\textbf{My Attempt:}$

Sé que $\forall A \in \mathcal{T}$. $A$ es el contable de la unión de intervalos abiertos con racional de los puntos finales.

Quiero usar el Cantor-Bernstein Teorema. Que necesito para encontrar inyectiva funciones de $f$ $g$ tal que $f: 2^{\aleph_0} \to \mathcal{T}$$g: \mathcal{T} \to 2^{\aleph_0}$.

Sé que cada una de las $A \in \mathcal{T}$ es de la forma $A = \bigcup_{x \in A} (r_x,s_x)$ donde $r_x,s_x \in \mathbb{Q}$. ¿Cómo puedo utilizar este hecho para encontrar la función inyectiva $f$$g$?

Answer 1

A menudo es útil para reemplazar a $2^{\aleph_0}$ con otro conjunto de la misma cardinalidad para el propósito de encontrar inyectiva funciones; voy a hacerlo con frecuencia, y te recomiendo que aprender a pensar acerca de los conjuntos de esta manera.

Para una dirección, la búsqueda de una función inyectiva $\mathbb R\to\mathcal T$ debe ser fácil. Se los dejo a ustedes. (¿Por qué $|\mathbb R|=|2^{\aleph_0}|$?)

La otra dirección es más difícil. Su observación no es del todo correcto: yo no ver cómo se está asociando $x$$r_x$, ya que el $x$ podría ser irracional. Creo que el hecho de que se está refiriendo -- una versión de, al menos, es la siguiente.

Deje $A\subseteq\mathbb R$ ser abierto. Para cada número racional $q\in A$ existe un racional radio de $r_q\in\mathbb Q$ tal que $(q-r_q,q+r_q)\subseteq A$. A continuación,$A=\bigcup_{q\in A}(q-r_q,q+r_q)$.

Desde $A$ está completamente caracterizado por el conjunto de $\{(q,r_q)\,:\,q\in A\cap\mathbb Q\}$ (aquí me refiero a $(q,r_q)$ como un par ordenado, no un intervalo!), ¿por qué no hacemos una función de $\mathcal T\to 2^{\mathbb Q\times\mathbb Q}$ dada por $A\mapsto \{(q,r_q)\,:\,q\in A\cap\mathbb Q\}$. El mapa es inyectiva (por qué?) y $|2^{\mathbb Q\times\mathbb Q}|=|2^{\aleph_0}|$ (żpor qué?). Así que hemos terminado!

Edit: La instrucción que me dio no es el correcto tal como está escrito, como user48481 Mirko Swirko señaló. El problema es que si yo escojo la $r_q$ a ser demasiado pequeño, entonces yo no podía llegar a todos los puntos en el conjunto abierto. Por ejemplo, si $A=(0,2)$ y elijo $r_q$, de modo que $\sqrt2\notin(q-r_q,q+r_q)$ cualquier $q$, lo cual es posible debido a que $\sqrt2$ es irracional, entonces la unión de la $(q-r_q,q+r_q)$ se pierda el punto de $\sqrt2$.

Una versión corregida de la declaración dice así.

Deje $A\subseteq\mathbb R$ ser abierto. Existe una asignación de $q\mapsto r_q$ de los números racionales racional de los radios (por lo $q,r_q\in\mathbb Q$) tal que $A=\bigcup_{q\in A} (q-r_q,q+r_q)$.

Para probar la afirmación, basta considerar el caso en que $A$ es un intervalo de $(a,b)$, ya que cada subconjunto abierto de $\mathbb R$ es una contables de la unión de los intervalos, como se observó. Usted puede hacer esto mediante el abandono $(q_n)_{n=1}^\infty$ ser una enumeración de los racionales en $(a,b)$ y la elección de $r_{q_n}$, de modo que, por ejemplo, si $q_n$ está más cerca de a$a$$b$$q_n-r_{q_n}-a<2^{-n}$.