Cuando es el cierre de una pelota igual a la cerrada de la bola?

Question

No es necesariamente cierto que el cierre de una pelota de $B_{r}(x)$ es igual para el cerrado de la bola en el mismo radio $r$ centrado en el mismo punto de $x$. Para un rápido ejemplo, tomar $X$ ser cualquier conjunto y definir una métrica $$ d(x,y)= \begin{casos} 0\qquad&\text{si y sólo si $x=$y}\\ 1&\text{en caso contrario} \end{casos} $$ Al abrir la unidad de la bola de radio $1$ alrededor de cualquier punto de $x$ es el singleton conjunto $\{x\}$. Su cierre es también el singleton conjunto. Sin embargo, la bola unidad cerrada de radio $1$ es todo.

Me gusta este ejemplo (aunque es bastante artificial) porque se puede demostrar que esto a menudo supone la falsedad puede fallar en catastrófica maneras. Mi pregunta es: ¿existen las condiciones necesarias y suficientes que puede ser colocado en el espacio métrico $(X,d)$, que obligaría a las bolas a ser igual?

Answer 1

Aquí está una caracterización que es la recta de las definiciones, pero que parece que puede ser útil cuando la comprobación de que un particular espacio de la propiedad.

Para cualquier espacio métrico $(X,d)$, los siguientes son equivalentes:

• Para cualquier $x\in X$ y radio $r$, el cierre de la bola abierta de radio $r$ todo $x$ es la bola cerrada de radio $r$.
• Para cualesquiera dos puntos distintos de $x,$ y en el espacio y en cualquier positiva de $\epsilon$, hay un punto a $z$ en $\epsilon$ de $y$, y cerca de $x$ de $y$ es. Es decir, por cada $x\neq y$ y $\epsilon\gt 0$, $z$ con $d(z,y)<\epsilon$ y $d(x,z)<d(x,y)$.

Prueba. Si la bola cerrada de la propiedad se mantiene, entonces corregir cualquier $x,$ y $r=d(x,y)$. Desde el cierre de $B_r(x)$ incluye $y$, la segunda propiedad de la siguiente manera. Por el contrario, si la segunda propiedad se mantiene, entonces si $r=d(x,y)$, entonces la propiedad garantiza que $y$ es en el cierre de $B_r(x)$, y para el cierre del open de bola incluye el cerrado de la bola (y es fácil ver que no incluyen nada más que esto. QED

Answer 2

Vamos $(X,||\cdot ||)$ ser una normativa espacio lineal. Entonces $\overline{B_1(0)}=\bar{B}_1(0)$.

Prueba. Observar que $\overline{B_1(0)}$ es el menor conjunto cerrado que contiene a $B_1(0)$ y $B_1(0)\subconjunto \bar{B}_1(0)$, por lo que trivialmente $\overline{B_1(0)}\subconjunto\bar{B}_1(0)$. Ahora para mostrar $\bar{B}_1(0)\subconjunto \overline{B_1(0)}$. Se observa que $\bar{B}_1(0)=B_1(0)\cup \partial B_1(0)$, es decir, para todo $x\in \parcial B_1(0), \, \existe x_n\en B_1(0)$ tal que $||x_n-x||\to 0$: para cualquier valor de $x\in \parcial B_1(0),$ let $x_n=(1-\frac{1}{n})x, \, n\in \mathbb{N}.$ A continuación, mostrar $x_n\en B_1(0)$ y $||x_n-x||\a 0$.