Es $545^4 + 4^{545}$ un número primo?

Question

La pregunta principal es : Es $545^4 + 4^{545}$ un número primo? Explique su respuesta.

Mi planteamiento : He tratado de escribir la expresión como, $$545^4 + 4*4^{544}$$ Así, tenemos, $$545^4 + 4*{(4^{136})}^4$$

Yo no puede ir más allá. Hay una cosa que es evidente o concepto que me falta? Esta pregunta es una pregunta de nivel de base de la olimpiada pregunta, por lo tanto no debe ser algo corto solución a esto. Voy a apreciar si usted puede dar una respuesta detallada, junto con un acceso directo, si usted tiene uno, por lo que entiendo el concepto de fondo. Gracias!

Answer 1

Podemos ir a través de este con primitivas pasos. (Procedimiento después de los dos pasos que se dieron en mi enfoque) Deje $545=x$$4^{136}=y$. Por lo tanto, la expresión se convierte en : $$x^4+4y^4$$ Sumar y restar por $4x^2y^2$, obtenemos, $${(x^2+2y^2)}^2-{(2xy)}^2$$ Esto puede ser escrito como : $$(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy)$$

Ahora, ya que hay dos factores a la expresión original excluyendo $1$ y en sí, la expresión de $545^4+4^{545}$ no es un número primo.

Answer 2

$$x^2 - 2 x y + 2 y^2 = (x-y)^2 + y^2 \geq y^2$$