Deje $C^\prime$ ser el conjunto de Cantor y deje $C = C^\prime \times \{0\}$ (visto como un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$). Para $c \in C$, vamos a $L(c)$ denotar el medio cerrados segmento de línea que conecta $(c,0)$ $(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})$(incluyendo $(c,0)$ pero excluyendo $(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})$).
Si $c \in C$ es $(0,0)$, $(1,0)$, o un extremo de un intervalo de borrado en el conjunto de Cantor, vamos a $X_{c} = \{ (x,y) \in L(c) : y \in \mathbb{Q} \}$. Para todos los otros $c \in C$, vamos a $X_{c} = \{ (x,y) \in L(c) : y \notin \mathbb{Q} \}$.
El Cantor del Tipi es el conjunto $\bigcup_{c \in C} X_{c}$ equipado con la topología de subespacio heredado de la norma de la topología en $\mathbb{R}^2$.
He encontrado varias referencias al hecho de que el Cantor del Tipi está totalmente desconectado, pero yo no puedo probarlo.
Fue traído a mi atención en los comentarios que yo había tomado la definición incorrecta totalmente desconectado cuando el primer trabajo sobre este problema, como se muestra en el siguiente ejemplo. La propiedad de que yo había estado tratando de demostrar que era totalmente separados, que conducen a la incertidumbre me estaba experimentando a continuación.
En particular, me parece no puede separar dos puntos que pertenecen a la mismo $X_c$. Para la concreción:
¿Cuáles son los dos separados abrir conjuntos de $A$ $B$ tal que
- $A$ $B$ testigo de la desconexión de Cantor del Tipi,
- $(0,0) \in A$, y
- $(\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}) \in B$?
Aviso de $(0,0), (\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}) \in X_0$. Es de suponer que el método que funciona para este ejemplo puede ser fácilmente modificado para que funcione para cualquier par de puntos pertenecientes a la misma $X_c$.
