Evidentemente, para $d$ un número cuadrado, hay a lo sumo un primo de la forma $n^2 - d$ ya que $n^2-d=(n+\sqrt d)(n-\sqrt d)$ .
¿Qué pasa cuando $d$ no es un número cuadrado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
bentsai
Puntos
1886
Hay una gran cantidad de conjeturas que afirman que hay un número infinito de primos de la forma $n^2-d$ para los fijos no cuadrados $d$ . Por ejemplo Conjetura de Hardy y Littlewood F El Conjetura de Bunyakovsky , Hipótesis de Schinzel H y el Conjetura de Bateman-Horn .
Como se indica en Shanks 1960 Un caso especial de la Conjetura F de Hardy y Littlewood, relacionada con esta cuestión, es la siguiente:
Conjetura : Si $a$ es un número entero que no es un cuadrado negativo, $a \neq -k^2$ y si $P_a(N)$ es el número de primos de la forma $n^2+a$ para $1 \leq n \leq N$ , entonces \[P_a(N) \Nsim \frac{1}{2} h_a \int_2^N \frac{dn}{log n}\] donde $h_a$ es el producto infinito [h_a=\\\Nprod_{text{prima} w \text{no divide a}^\infty \left(1-\left(\frac{a}{w}\right) \frac{1}{w-1}\right)\Ntomado sobre todos los primos Impares, $w$ que no se dividen $a$ y para el que $(-a/w)$ es el Símbolo de Legendre .
La integral es (hasta las constantes multiplicativas/aditivas) la función integral logarítmica .
