Deje $k$ ser un entero positivo. Mostrar que existe un divisor primo de $\sigma{((2^k)!)}$, que es mayor que $2^k$ donde $\sigma{(n)}$ es la suma de los divisores de la función.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Juntar las siguientes piezas:
- $\sigma$ es multiplicativo en el sentido de que si $\gcd(m,n)=1$$\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)$. Esta es tan solo una consecuencia única de la factorización de números enteros.
- El poder más alto de los dos que es un factor de $(2^k)!$$2^{2^k-1}$. Usted probablemente ha visto la fórmula para el $p$-ádico valor de un factorial. Se puede encontrar en nuestro sitio así.
- Por lo tanto $\sigma(2^{2^k-1})=2^{2^k}-1=(2^{2^{k-1}}-1)(2^{2^{k-1}}+1)$ es un factor de $\sigma((2^k)!).$
- Desde el contexto de los factores primos de Fermat números sabemos que todos los factores primos $p$ $2^{2^{k-1}}+1$ satisfacer la congruencia $p\equiv1\pmod{2^{k+1}}$ si $k\ge3$, e $p\equiv1\pmod{2^k}$ todos los $k$. Ver a esta pregunta de una explicación. En realidad esta pregunta basta aquí.
