Gelfand dualidad en NCG

Question

En la geometría no conmutativa, Gelfand dualidad es la construcción de multiplicativa lineal funcionales de un conmutativa la C*-álgebra, la cual puede ser considerada como el espacio de todos sus irreductible complejo de representaciones.

Cuando se encuentra con un no-conmutativa la C*-álgebra, podemos hablar del espacio de estados puros, que es la generalización de multiplicativa lineal funcionales en conmutativa de los casos. El GNS la construcción puede ser visto como un mapa del espacio de estados para el espacio de todas las representaciones, y también desde el espacio de estados puros para el espacio de todas las representaciones irreducibles.

Mi pregunta es, es el "GNS mapa" surjective, o inyectiva? Lo que debería ser visto como el no-conmutativa topológica del espacio, el espacio de todas las representaciones irreducibles, o el espacio de estados puros? Y ¿por qué?

Answer 1

En surjectivity: no, no, cada representación proviene de un estado; sólo el cíclico. Cada degenerada de la representación de una C*-álgebra es una suma directa de cíclico representaciones (Zorn), y cada ciclo representación proviene de una GNS de la construcción. Pero sí, cada irreductible de la representación (que también es cíclico) proviene de un GNS de la construcción.

En la inyectividad: incluso A considerar esta pregunta, usted probablemente querrá identificar las representaciones de si son unitarily equivalente. Pero no, porque, por ejemplo, dos cíclico de la unidad de vectores en el espacio de Hilbert de una representación a menudo se producen diferentes vector de estados, pero estos vector de estados del rendimiento de la misma representación.

Que el espacio? Eso dependerá de sus aplicaciones, y no tengo ningún absoluta respuestas a eso. En su lugar voy a decirle a usted lo que le viene a la mente con la esperanza de que le ayudará a orientarse. (A continuación, voy a esperar con usted para ser iluminados por otra respuesta.)

El espacio de (unitario) de clases de equivalencia de representaciones irreducibles es a menudo llamado el espectro de una C*-álgebra; de una estrecha relación espacial es el conjunto de núcleos de representaciones irreducibles, llamado el primitivo espacio ideal. El primitivo espacio ideal se da el casco del núcleo de la topología y es un cociente de espectro. Recomiendo el libro por Ej y Williams; consulte el Apéndice a para obtener información sobre estos espacios, y ver el resto del libro, de cómo se usan.

Como para el espacio de estados puros, estoy más acostumbrado a la idea de estudiar el espacio de todos los estados, en los que los estados puros son los puntos extremos. Hay una buena caracterización del estado de los espacios de C*-álgebras en E. Alfsen, H. Hanche-Olsen y F. W. Shultz: Estado de los Espacios de C∗-Álgebras, Acta de Matemáticas. 144 (1980) 267-305, que llegó a esta otra pregunta. Sin embargo, hay otra opción que he aprendido un poco acerca de Pedersen del libro, donde el cuasi-estado espacio Q se utiliza. Un cuasi-estado es positiva y funcional de la norma en la mayoría de los 1. (Distinto de 0, los puntos extremos de P son también los estados puros.) Una C*-álgebra puede ser estudiado como afín funciones en Q; véase la sección 3.10 de Pedersen para más detalles.

Answer 2

@Meyer ha proporcionado una muy buena respuesta, tan solo quiero añadir algo a partir de mis notas de Profesor Rieffel $C^\ast$-clase de álgebra sobre el primitivo espacio ideal, que es un canónica topológica del espacio asociado a un $C^\ast$-álgebra (de hecho, está asociada a ninguna normativa $*$-álgebra, pero vamos a mantenerlo "fácil"...).

Deje $A$ $C^\ast$- álgebra.

Definición: Un ideal $I\subset A$ es primitivo si es el núcleo de una representación irreducible. Denota el conjunto de todas las primitivas de los ideales $Prim(A)$.

Tenga en cuenta que $Prim(A)$ es siempre un conjunto, ya que es un subconjunto de a $P(A)$, el juego de poder de $A$. Un importante teorema:

Si $A$ es GCR, a continuación, el mapa de $\widehat{A}\to Prim(A)$ $(\pi, H)\mapsto \ker(\pi)$ es un bijection (donde $\widehat{A}$ es el "conjunto" de clases de equivalencia de representaciones irreducibles).

Esto está lejos de ser el caso si $A$ es la NCR (hay algunos que la teoría de conjuntos, tales como el término "inclasificable," que yo no quiero entrar en como yo no soy un conjunto teórico), sino $Prim(A)$ es todavía un conjunto, por lo que todavía podemos obtener un espacio topológico utilizando el siguiente hecho:

Todos los primitivos ideales son principales.

El espacio de primer ideales de $A$ viene con el Jacobson, o "casco-núcleo" de la topología, por lo que tenemos la topología relativa en $Prim(A)$.

Un par de hechos:

• En general, $Prim(A)$ no es Hausdorff, pero es $T_0$ (ver @Meyer comentario para un contraejemplo).
• $Prim(A)$ es localmente compacto.
• Si $A$ es separable, $Prim(A)$ tiene la Propiedad de Categoría de Baire.

Una vez más, esto es todo, a partir de un supuesto me tomó de la Profesora Rieffel. Espero te sirva de ayuda!

Answer 3

Sobre tu última pregunta, yo diría que usted debe ver a su C*-álgebra a sí mismo como el (coordinar anillo en el) "no-conmutativa topológica del espacio." Los espacios que se sugieren son conmutativas. Su C*-álgebra puede ser considerado como un no-conmutativa sustituto de la coordenada anillo en uno de ellos.