$211!$ o $106^{211}$:żcuál es mayor?

Question

Un BdMO pregunta:

Deje $a=211!$$b=106^{211}$. Muestran que es mayor con la adecuada lógica.

Por la coincidencia de término por término,es bastante fácil notar que

$106!<106^{106}$

$106^{105}<107\cdot 108\cdot 109...........211$

Sin embargo, estoy en una pérdida para ver cómo esto va a ayudar.La solución debe algo a lo largo de las líneas de este, pero soy incapaz de ver.Yo también factorizados 106 pero complica las cosas aún más.Una sugerencia será bienvenida.

Answer 1

Utilizar un truco similar a la de Gauss famoso truco de suma (aunque probablemente él no fue el primero, en todo caso, para descubrirlo).

Dividir el $211!$ en pares, $(1,211),(2,210),(3,209),\ldots(105,107)$. Ahora podemos notar que para cada par puede ser escrito como $(106-k,106+k)$ y por tanto: $$(106-k)(106+k)=106^2-k^2<106^2.$$

Ahora es fácil acabado. Hay $105$ pares y uno adicional $106$ a cada lado. Por lo tanto,$211!<106^{211}$.

Answer 2

Aplicar GM $\le$ AM a $1,\ldots,211$, tenemos

$$211! \le \left[\frac{1}{211}\left(1 + \ldots + 211\right)\right]^{211} = 106^{211}$$

Desde la lista de $1,\ldots,211$ no es una constante de la lista, la desigualdad anterior es estricta. es decir, $$211! < 106^{211}$$

Answer 3

$1\cdot 211<106\cdot106$

$2\cdot210<106\cdot106$

$...$

$105\cdot107<106\cdot106$

Así que, claramente, $211! < 106^{211}$

Answer 4

Basta con mirar a $211!=(106-105)(106-104)...(106-1)106(106+1)...(106+104)(106+105)$, a continuación, compare $106^2$ $(106+n)(106-n)$ al $1\le n \le 105$.

Answer 5

Sugerencia: Utilice la fórmula de Stirling, $n!\simeq\bigg(\!\!\dfrac ne\!\!\bigg)^n\sqrt{2\pi n}$.