Encontrar $\lim_{x \to 0}\frac{\cos 2x-1}{\cos x-1}$ sin la regla de L'Hospital.

Question

$$\lim_{x \to 0}\frac{\cos 2x-1}{\cos x-1}$$ He encontrado el límite anterior usando la regla de L'Hospital, pero ya que esta regla no se da en el libro, así que voy a hacer sin el uso de esta regla.

Sé $$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$$

Traté de hacer algo de la forma de la por encima del límite, pero no pude hacerlo.

Amablemente me ayude a resolver este problema sin usar la regla de L'Hospital.

Answer 1

Recuerdan $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$, por lo que podemos reescribir como

$$\lim\limits_{x\to 0} 2\frac{\cos^2(x)-1}{\cos(x)-1}=\lim\limits_{x\to 0} 2\frac{(\cos(x)-1)(\cos(x)+1)}{\cos(x)-1}=2(\cos(0)+1)=4$$

Answer 2

Ya que otros ya han presentado un gran camino por delante, pensé que sería instructivo para presentar un enfoque alternativo. Para ello, utilizamos

$$\cos x=1-\frac12 x^2+O(x^4)$$

para escribir

$$\begin{align}\frac{\cos 2x-1}{\cos x-1}&=\frac{\left(1-\frac12 (2x)^2+O(x^4)\right)-1}{\left(1-\frac12 x^2+O(x^4)\right)-1}\\\\&=\frac{-2x^2+O(x^4)}{-\frac12 x^2+O(x^4)}\\\\&=4+O(x^4)\to 4\end{align}$$

Answer 3

Sugerencia: tratar de ampliar cos 2x primera.

Recuerde cos 2x = cos2 x - sin2 x o cos 2x = 2cos2 x - 1. Usted puede continuar resolver este problema mediante el uso de esta identidad.

Answer 4

$\dfrac{1-\cos (2x)}{1-\cos x} = \dfrac{2\sin^2x}{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}=4\cdot \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\cdot \left(\dfrac{\dfrac{x}{2}}{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}\right)^2\to 4\cdot 1\cdot 1=4$ $x \to 0$.