Encontrar el signo de un producto punto

Question

Si $|\vec{a}|=2$ , $|\vec{b}|=5$ y $|\vec{a}\times\vec{b}|=8$ ,
encontrar $(\vec{a }\cdot\vec{b})$
Utilizando $|\vec{a}\times\vec b|^2 + (\vec{a }\cdot\vec{b})^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2$ obtenemos dos respuestas +6 y -6. ¿Son ambas correctas o debemos tomar el valor positivo?

Answer 1

Si tiene vectores $\vec a$ y $\vec b$ que satisfacen las condiciones dadas, entonces se sustituye $\vec a$ por su inversa cambiará el signo de $\vec a\cdot \vec b$ pero deja los datos sin cambiar.

Así que no puedes esperar encontrar la señal de $\vec a\cdot \vec b$ basado en esos valores dados.

Answer 2

Esta pregunta es igual a decir:

Un paralelogramo tiene lados con longitudes $2$ y $5$ y zona $8$ ¿Qué es el ángulo entre ellos?

Y está claro que tenemos dos respuesta:

Answer 3

El hecho de que $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son vectores es realmente una pista falsa. Con la información dada, la ecuación es $64+ x^2= 100$ así que $x^2= 36$ que tiene raíces x= 6 y x= -6. No hay ninguna razón por la que el producto punto de dos vectores no pueda ser negativo, por lo que ambos son soluciones.

Answer 4

Ambos son correctos ya que $$\vec|a\times\vec b| = 8 \implies ||a||b|\sin\theta| = 8 \implies |sin \theta| = \frac{4}{5}$$ Así que $$\sin \theta = \pm \frac{4}{5} \implies \cos \theta = \pm \frac{3}{5}$$ Así, $$(\vec a \cdot \vec b) = |a||b|\cos\theta = \pm 6$$

Answer 5

Usted dijo esto:

$$|\vec{a}\times\vec b|^2 + (\vec{a }\cdot\vec{b})^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2$$

Pero has omitido pasos intermedios para llegar a la conclusión:

$|\vec{a}\times\vec b|^2 + (\vec{a }\cdot\vec{b})^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\sin(\alpha)^2+|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\cos(\alpha)^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2(\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2)=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2$

La clave aquí es la ecuación del círculo de 1 tamaño que relaciona el seno y el cos:

$$(\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2) = 1$$

Así que: Siempre que se utilice siempre el mismo ángulo (es decir, el mismo orden entre los vectores a y b), eso será cierto debido a la identidad . Si tiene dos valores diferentes, es porque puede elegir multiplicar a con b, o b con a (obteniendo $\alpha = |\alpha|$ o $\alpha = -|\alpha|$ ). Hay que tenerlo en cuenta de antemano: $\alpha$ será determinado por el orden de los operandos, y determinará el signo de ambas operaciones de los productos. Finalmente : Sí, ambos valores serán válidos dependiendo del cuadrante de $\alpha$ .