Resolver $a^3-5a+7=3^b$ sobre el número entero positivo

Question

Resolver $a^3-5a+7=3^b$ sobre el número entero positivo

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No sé cómo resolver dicha ecuación, por favor ayúdenme. Gracias

Answer 1

Una forma sería encontrar todos los puntos integrales en las dos curvas elípticas $$ y^2=a^3-5a+7 \; \mbox{ and } 3 y^2 = a^3 - 5a +7, $$ y luego buscar los valores de $y$ que son potencias de $3$ . Se podría hacer a través de, por ejemplo, Magma. Si se recurre a la rutina IntegralPoints de Magma, se sabe que la primera curva sólo tiene $(a,y)= (-2, \pm 3)$ mientras que el segundo tiene $(a,y)=(1,\pm 1)$ .

Answer 2

He aquí una idea que podría funcionar o no:

Dejemos que $f(x)=x^3-5x+7 \,.$

$f(x)=0 \pmod 3$ tiene una solución única $x =1 \pmod 3$ .

Además, $f'(x)= -5=1 \pmod 3$ .

Mediante el Lifting se puede construir recursivamente $x_n \pmod {3^n}$ la solución única a

$$f(x) =0 \pmod {3^n} \,.$$

Demuestra por inducción que el menor número positivo $y_n$ en la clase de $x_n \pmod {3^n}$ satisface

$$y_n > 3^\frac{n}{3}$$

Esto demuestra que para $n=b$ todas las soluciones a $f(x)=3^b$ no son buenas.

Answer 3

Lorsque $b=1$ Ya conocemos el resultado.

Puedo probar cuando $3\mid b$ No hay solución.

Puede ver

si intentamos $a = 3^{b/3}$ entonces

$a^3-5a+7 = 3^b-5\cdot3^{b/3}+7<3^b$ , si $b\ge3$ .

Si intentamos $a = 3^{b/3}+1$ entonces

$a^3-5a+7 = 3^b+3\cdot 3^{2b/3}-2\cdot 3^{b/3}+3>3^b$ , si $b\ge 3.$

Así, $3^{b/3}<a<3^{b/3}+1$ no hay $a$ satisfaciendo esto, cuando $3\mid b$ .

Answer 4

Si se empieza sin restricción de enteros positivos pero con solución real, se puede expresar $b = \log_3(a^3-5a+7)$ y quieres encontrar la intersección: una solución está en [a=1, b=0] que está fuera de tu región objetivo, de lo contrario no hay soluciones. Esto significa, que no habría ningún sloluciones enteras, cuando no hay ninguna solución real en absoluto.