¿Cuántos puntos puedo recetar para una diffeomorphism del avión?

Question

Yo estaba tratando de averiguar cómo construir un $\mathcal C^\infty$ curva que une dos arbitraria de los segmentos de línea. Mi idea era usar bump funciones y los gustos, pero para eso tuve que hacer los segmentos de línea que se encuentran en $y = 0$$y = 1$. Por supuesto, la transformación que transportaban a los segmentos tendría que ser un diffeomorphism (al menos de algunos set que contiene los segmentos). Esto me encuentran para ser equivalente a la prescripción de la imagen de cuatro puntos por debajo de algunos diffeomorphism. Un par de maneras de hacer esto se me ocurrió, pero me encontré con esta pregunta en el proceso.

¿Qué restricciones hay en el cardinal de un conjunto A\subconjunto\Bbb R^2 tales que existe una (auto) diffeomorphism f con f(A) = B para algunos fijos $B\subconjunto \Bbb R^2? (Obviamente, #B = # A)

A la luz de los acontecimientos, voy a pedir que homeomórficos $A,B\subset\Bbb R^2$ hay un diffeomorphism de $\Bbb R^2$ (o un conjunto abierto que contiene $A$,$B$) el envío de $A$$B$?

Si $\#A<\infty$ siempre existe un $f$, construido por los correspondientes polinomios. (por ejemplo, $f(x,y) = (ax^2+bxy+cy^2,a'x^2+b'xy+c'y^2)$ permite por seis puntos, y así sucesivamente.

Mi intuitiva conjetura es que podemos hacer lo mismo para una contables conjunto, pero yo no podía justificar a mí mismo. Para innumerables parece obvio que la respuesta es negativa en general. Junto con una respuesta para el contable caso, me gustaría saber si es posible de algunos otros ejemplos, posiblemente el más elegante, para el caso finito.

También opcional: ¿cómo afecta la respuesta a esta pregunta (en un colector) se refieren a la geometría del colector?

Answer 1

Las preguntas tienen un campo muy amplio, así que me limitaré a dar algunos ejemplos. Si diffeomorphism se sustituye con homeomorphism, problemas como este, tiene una larga historia, siendo el más famoso el Jordán-Schoenflies problema. Daverman del libro Decompostions de Colectores es una buena fuente de este material, aunque en realidad esta pregunta probablemente se extiende por todos los de la topología geométrica.

La densidad de $A$ $B$ $\Bbb R^2$ y el homeomorphism tipo de $A$ $B$ dar algunas obvio invariantes de encontrar un homeomorphism de $\Bbb R^2$ envío de $A$ $B$(es decir, Hagen respuesta). A veces estos son suficientes. De hecho, es cierto que para cada subconjunto del plano $C$ homeomórficos para el conjunto de Cantor, hay un homeomorphism de $\Bbb R^2$ que envía a $C$ para el estándar del conjunto de Cantor. En $\Bbb R^3$, las cosas son mucho más complicadas. Hay conjuntos de homeomórficos a conjuntos de Cantor (ver Antoine collar) donde no existe tal homeomorphism.

También en $\Bbb R^3$, se puede pedir cuando se puede si existe o no tal diffeomorphism por un par de problemas incrustado círculos $K_1, K_2$. Gordon y Luecke mostró esto es cierto siempre que $\Bbb R^3-K_1$ $\Bbb R^3-K_2$ son homeomórficos, y en una dimensión más alta son algunas de las muchas preguntas abiertas, es decir,

Pregunta abierta: Vamos a $S_1,S_2\subset \Bbb R^4$ ser fácilmente incorporado 2-esferas uno de los cuales es el estándar $S^2\subset \Bbb R^3 \times 0$. Si hay un homeomorphism de $\Bbb R^4$ envío de $S_1$ $S_2$hay un diffeomorphism de $\Bbb R^4$ envío de $S_1$$S_2$?

Answer 2

Si $A$ $B$ son countably infinito, puede suceder que ni siquiera hay un mapa continuo $A\to B$, por lo tanto no hay extensión a un diffeomorphism $\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ es posible: Deje $A=\mathbb Q\times\mathbb Q$ amd $B=\mathbb Z\times\mathbb Z$.

Answer 3

Como Hagen von Eitzen ya se señaló, hay topológico de obstrucciones. Aquí una de las dimensiones por ejemplo: tome $A=\left\{0, \frac{1}{n}\ :\ n\ge 1\right\}$$B=\mathbb{Z}$. Desde $A$ es compacto, usted no puede continuamente mapa en $B$.

Sería bueno saber si topológico obstrucciones son los únicos obstáculos. Es decir, si uno ya sabe que no existe un homeode morfismos de asignación de $A$ a $B$, se puede concluir que existe una diffeode morfismos de asignación de $A$ a $B$? (Supongo que la respuesta es positiva).

Answer 4

El siguiente extiende a Hagen respuesta.

Claramente, la imposición de requisitos en la cardinalidad no es suficiente. Una condición necesaria para que un diffeomorphism como se desee para existir es que $A$ $B$ son homeomórficos como subespacios de $\mathbb{R}^2$. Si uno de los conjuntos pasa a ser un suave submanifold, el otro tiene que ser demasiado, y que necesitan para ser diffeomorphic.