Hacer de los límites de las secuencias de conjuntos vienen de una topología?

Question

En teoría de la medida es frecuente ver a las siguientes definiciones:

$$\limsup_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{j=n}^{\infty} A_j\right)$$

$$\liminf_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{j=n}^{\infty} A_j\right)$$

donde $(A_n)_n$ es una secuencia de conjuntos medibles es decir $\forall n: A_n\in\mathcal{M}$ donde $\mathcal{M}$ $\sigma$- álgebra en $X$, por ejemplo,$\mathcal{M} = 2^X$. Por lo tanto, es lógico que también definir:

$$\lim_{n\to\infty}A_n = \limsup_{n\to\infty} A_n = \liminf_{n\to\infty} A_n$$

cuando el pasado dos de acuerdo. Si $\mu$ es un número finito (positivo, para mantener las cosas simples), es fácil ver que en virtud de esta definición, tenemos $\mu(\lim_{n\to\infty}A_n) = \lim_{n\to\infty}\mu(A_n)$, siempre que $\lim_{n\to\infty}A_n$ existe, lo que parece algún tipo de continuidad.

Este tipo de convergencia de las secuencias de conjuntos medibles surgir de un (preferiblemente Hausdorff, por lo que los límites son únicos) topología en $\mathcal{M}$? Si una topología de tal existe, es$\mu:\mathcal{M}\to[0,\infty)$, de hecho, una función continua?

(Una pregunta relacionada que pueda ser de su interés sería: ¿qué sucede si nos permiten arbitraria de conjuntos? Podemos hacer que los Von Neumann universo $V$ a de un espacio topológico de tal manera?)

Answer 1

Creo que he encontrado una topología que responde a mis preguntas de manera positiva. Vamos a presentar algunas anotaciones en el fin de evitar la confusión. Deje $\mathrm{LIM}_{n\to\infty}A_n$ denotar el valor común de $\limsup_{n\to\infty}A_n$ $\liminf_{n\to\infty}A_n$ si es que existe. (Definido mediante intersecciones y uniones, como se explicó anteriormente en la pregunta.) Esto es distinguir este concepto de la posible diferente noción de límite que surja de una topología que denominaremos $\lim$, en caso de que la necesitemos. A continuación definimos los siguientes conjuntos: $$\mathbf{M}=\lbrace\mu:\mathcal{M}\to[0,\infty)|\hbox{ }\mu\textrm{ is a finite positive measure}\rbrace$$ $$\mathbf{A}=\lbrace A:\mathbb{N}^+\to\mathcal{M}|\hbox{ }\mathrm{LIM}_{n\to\infty}A(n)=A(\infty)\rbrace$$ Aquí $\mathbb{N}^+$ denota el punto de compactification de $\mathbb{N}$ $\infty$ es el agregado punto. Ahora tomamos $\tau_0$ a ser la topología inicial en $\mathcal{M}$ con respecto al $\mathbf{M}$ $\tau_1$ a ser el final de la topología en $\mathcal{M}$ con respecto al $\mathbf{A}$. Topología inicial es, por definición, el más pequeño de la topología con respecto a que todos los $\mu\in\mathbf{M}$ son continuas. Esto significa que las topologías $\tau$ para que todos los $\mu\in\mathbf{M}$ son continuas son precisamente aquellos para los que $\tau_0\subseteq\tau$ mantiene. Doblemente, topologías $\tau$ para que todos los $A\in\mathbf{A}$ es continua, se caracterizan por: $\tau\subseteq\tau_1$.

Así, para resolver el problema, todo lo que tenemos que hacer es demostrar que $\tau_0\subseteq\tau_1$. La topología $\tau_0$ es generado por los conjuntos de la forma $\mu^{-1}(U)$ donde $U$ es un conjunto abierto en $[0,\infty)$$\mu\in\mathbf{M}$. Por lo que es suficiente para demostrar que todo conjunto es también contenido en $\tau_1$. Para ello, tomamos $\tau = \lbrace\emptyset, \mu^{-1}(U), X\rbrace$. Claramente esta es una topología, por lo que para poder ser incluida en $\tau_1$ sólo tenemos que demostrar que todos los $A\in\mathbf{A}$ es continua con respecto a $\tau$.

Así, supongamos $A\in\mathbf{A}$. Todo lo que tenemos que ver es que el $A^{-1}(\mu^{-1}(U)) = (\mu\circ A)^{-1}(U)$ está abierto. Si $\infty\notin (\mu\circ A)^{-1}(U)$, esto es cierto. Así que vamos a $\infty\in (\mu\circ A)^{-1}(U)$. Para un conjunto abierto, tenemos que mostrar que $(\exists N\in\mathbb{N})(\forall n\geq N): n\in(\mu\circ A)^{-1}(U)$. Pero, como sabemos, $\mathrm{LIM}_{n\to\infty} A(n) = A(\infty)$ implica que el $\lim_{n\to\infty} \mu(A(n)) = \mu(A(\infty))$ tal $N$ de hecho existe.

Conclusión: $\tau_0\subseteq\tau_1$.

Así que, de hecho, si tomamos la topología en $\mathcal{M}$$\tau_1$, las secuencias convergentes son precisamente aquellos para los que $\mathrm{LIM}$ existe (usando el hecho de que la topología de Nate Eldredge sugiere es la contenida en $\tau_1$) y cada finito medida positiva $\mu$ es un mapa continuo.

(Si me he equivocado en algún lugar, las correcciones son más que bienvenidos.)

Answer 2

No es una topología. Simplemente dar $\mathcal{M}$ el subespacio de la topología inducida por el producto de la topología en $2^X$.

Puede ayudar a pensar de $2^X$ como el conjunto de funciones de$X$$\{0,1\}$, mediante la identificación de un conjunto con su función de indicador. Luego tenemos a $1_{\limsup A_n} = \limsup 1_{A_n}$ y así sucesivamente. Ya que el producto de la topología es sólo la topología de pointwise convergencia, este se comporta como se desee.

Sin embargo, el mapa de $A \mapsto \mu(A)$ no es, en general, continua con respecto a esta topología. Por ejemplo, el finito de conjuntos densos en $\mathcal{M}$ con esta topología, por lo que cualquier trivial no atómica métrica da a un discontinua mapa.