$x\otimes 1\neq 1\otimes x$

Question

En Bourbaki, Algèbre 5, sección 5, uno ha $A$ et $B$ $K$- álgebras en una extensión de $\Omega$$K$. Se dice que si los morfismos $A\otimes_K B\to \Omega$ es inyectiva, a continuación,$A\cap B=K$. Veo la razón: si no existiera $x\in A\cap B\setminus K$, de modo que $x\otimes 1=1\otimes x$ lo cual es falso.

Pero, ¿por qué $1\otimes x\neq x\otimes 1$$x\notin K$?

Answer 1

Para cualquier $K$-módulo de $T$ hay un isomorfismo canónico $$ \operatorname{Hom}_K(A\otimes B,T)\simeq\operatorname{Bil}_K(A\times B,T). $$ Así, en el fin de demostrar que $x\otimes1\neq1\otimes x$ es suficiente para producir un bilineal mapa de $\phi:A\times B\rightarrow T$ tal que $\phi(x,1)\neq\phi(1,x)$.

Tome $T=K$ y dejar $\lambda\in A^\ast$, $\mu\in B^\ast$ tal que $\lambda(x)=0$, $\lambda(1)=1$ y $\mu(x)=1$. A continuación, $\phi(a,b)=\lambda(a)\mu(b)$ obras.

Answer 2

Espero que sepas que si $\{v_i\}$ es una base de $V$ $\{w_j\}$ es una base de $W$, $\{v_i\otimes w_j\}$ es una base de $V\otimes W$. Ahora desde $x\notin K$, podemos extender $\{1,x\}$ a una base de $A$$B$, respectivamente. Ahora, como un corolario de la anterior afirmación tiene, en particular, que $1\otimes x$ $x\otimes 1$ son linealmente independientes. En particular, no son iguales.