Las raíces de las iteraciones de polinomios

Question

Deje $f \in \Bbb Q[X]$ un polinomio, y vamos a denotar por $f^n$ la composición de la $\underbrace{f \circ \cdots \circ f}_{n \text{ times }}$.

Deje $R(f^n) \subset \Bbb C$ las raíces de $f^n$. Estoy interesado en saber cómo $R(f^n)$ se comporta como $n \to \infty$.

He aquí un ejemplo :

• $g(x) = 0.5 x^5-0.5x-1$ , $n=1,2,3$

Aquí están algunas preguntas :

1. Es cierto que $R(g^n)$ es "uniformemente acotada", es decir, hay una bola de radio $r>0$ que contiene todas las $R(g^n)$ ? Esto es claramente falso para los polinomios $X-a, (a≠0)$. Pero parece que esto podría ser cierto para el $g(x) = 0.5 x^5-0.5x-1$ (y también para muchos otros ejemplos que he probado).

   Creo que el promedio de las raíces de la $f^n$ es constante si $\deg(f) ≥ 2$, pero no sé si esto ayuda.

2. [soft pregunta] Mirando el "fractal" patrón de $g^3$ (ver arriba ; de nuevo, esto sucede para otros polinomios), he de alguna manera la intuición de que la $R(g^n)$ "converge" a algunos de $R \subset \Bbb C$.

   ¿Cómo podría formalizar esta idea, y luego, posiblemente, demostrar que la intuición puede ser convertido en un "teorema" ?

   Para formalizar esta idea, mi intención era la de considerar una colección de $(x_{m,k})_{k≥1}$ de Cauchy secuencias que $\bigcup_{n≥1} R(g^n) = \bigcup_{m≥1} \{x_{m,k} \mid k ≥ 1\}$$x_{m,k} \in R(g^k)$. No debería ser mejor (y más correcto) maneras de formalizar mi intuición...

Gracias por sus comentarios !

---

Hice las fotos con Mathematica. Traté de ver lo que sucede, por $g^4$, pero estaba completamente equivocado (porque $g^4$ tiene el grado $625$, que es bastante grande, supongo). Espero que no hay ningún error con el hecho de que $g^3$ tiene el grado $125$.

Answer 1

Edit: Después de leer el comentario de lhf a la pregunta original, pensé que podría señalar que lo que está pasando aquí es simplemente la inversa de la iteración.

---

¿Cómo podríamos calcular las raíces de $f^n$, dado su grado muy alto? Así, el cálculo de raíces de $f$ no es difícil, decir que conseguir $$z_{1},z_{2},z_{3},z_{4},z_{5}.$$ Ahora, cada uno de esos puntos tiene cinco más preimages. La colección de todas esas serán las raíces de $f^2$. Cada uno de los cinco más preimages, dando 125 raíces de $f^3$. El proceso que estamos describiendo aquí es exactamente la inversa de la iteración - un conocido método para la generación de una aproximación a la Julia de $f$. Por lo tanto, que es exactamente el conjunto de su proceso de convergencia.

Ya que usted menciona Mathematica, yo podría hablar de que podemos comprobar con un par de líneas de código de Mathematica:

invImage[z_] := w /. NSolve[w^5/2 - w/2 - 1 == z, w];
invImage[zs_List] := invImage /@ zs;
roots = Flatten[Nest[invImage, 0, 4]];
JuliaSetPlot[z^5/2 - z/2 - 1, z, ColorFunction -> None,
 Epilog -> {Red, Opacity[0.5], Point[{Re[#], Im[#]} & /@ roots]}]

He aquí otra manera de pensar acerca de por qué esto podría funcionar. Las raíces de un polinomio $f$ son exactamente los puntos fijos del polinomio $g(z)=f(z)+z$, desde $$f(z_0)=0 \implies g(z_0) = f(z_0)+z_0=0+z_0=z_0.$$ Por lo tanto, las raíces de su iterated function $F=f^n$ principalmente mentira en el conjunto de Julia de la función $F(z)+z$. No podría ser de unos pocos, aislados atractivo puntos en el conjunto de Fatou.

Vamos a examinar las implicaciones de la cuarta iteración - un polinomio de 620 términos cuyos coeficientes tienen un valor absoluto de tamaño medio en torno a $10^{23}$. El conjunto de Julia de un polinomio ¿ no depender continuamente en sus coeficientes, pero en realidad cerca de continuo. Podemos esperar que el cambio en el coeficiente de $z$ $-4$ $-3$no va a cambiar el conjunto Julia demasiado. Podríamos incluso la esperanza de que, a medida que aumentamos el número de iteraciones, el efecto de la adición de 1 $z$ coeficiente se vuelve menos y menos. El punto es que pudimos examinar el conjunto de Julia de $F$ sí, que es el mismo que el conjunto de Julia de la original $f$. Por lo tanto, podríamos esperar que sus raíces son de agrupación en clústeres en el conjunto de Julia de $f$.