Medibles Función de los Últimos pregunta de Examen

Question

Este es un ejercicio de un pasado en el examen, yo estoy usando para tratar de ayudarme a estudiar. Deje $f$ ser medibles y acotados en $[0,1]$ satisfactorio $$f(x+y)=f(x)+f(y);\quad f(1)=1.$$ I'm trying to show that $f(x)=x$. Se nos ha dado una pista para demostrar que es continua mediante la hipótesis de una "medianamente inteligente", muestra que es la identidad en los puntos racionales, a continuación, extender por la continuidad.

Yo soy capaz de demostrar que la función es la identidad en $[0,1]\cap\mathbb{Q}$ sin ningún problema, pero no estoy seguro de cómo demostrar que es continua. A partir de ahí, mostrando la función es la identidad iba a ser fácil, puesto que se deriva del hecho de que los números racionales son densos en $\mathbb{R}$.

Answer 1

Apelando a Lusin del teorema de interior y la regularidad de la medida de Lebesgue, existe un conjunto cerrado $E$$m(E) > 1 - \epsilon$, de modo que la restricción a $E$ $f$ es uniformemente continua en a $E$. Ahora, observe que para $\delta$ $\epsilon$ suficientemente pequeño, tenemos que $E \cap (E + \delta)$ es no vacío, de manera uniforme la continuidad de $f$ $E$ nos permite concluir que para $x$ en la intersección $|f(x + \delta) - f(x)| = |f(\delta)|$ puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo $\delta$ lo suficientemente cercano a cero, lo que implica la continuidad después de apelar a la linealidad, ya que para general $x$ tenemos $f(x + \delta) - f(x) = f(\delta)$.

Como un aparte este truco con Lusin del teorema aparece mucho con preguntas como esta.

Answer 2

Sugerencia:

Basta para mostrar la continuidad en $0$ debido a que la función es un homomorphism.

Entonces porque los puntos racionales coordenadas son densos en $\mathbb{C}$ (o $\mathbb{R}$ si estás trabajando $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$), para cualquier disco de $D$ alrededor del origen ustedes saben que hay un $q$, de modo que $$f^{-1}(q + D)$$ has positive measure. Then by the Steinhaus theorem the difference set $$f^{-1}(q +D) - f^{-1}(q +D)$$ contiene un abierto de la bola alrededor del origen.

Answer 3

Este es quizás el ejemplo más simple de un fenómeno llamado automático de continuidad: funciones entre suficientemente bueno espacios topológicos (es decir, polaco espacios) que conservar cierta estructura algebraica (por ejemplo, grupo de homomorphisms) y tiene cierta cantidad mínima de regularidad (es decir, Borel medible) tiene que ser continuo. Usted puede leer más sobre él en este MO pregunta. La citada encuesta por Christian Rosendal (PDF) es bastante agradable.