Muchas de las condiciones necesarias para que la reflexividad de un espacio de Banach llegar a ser suficiente, por ejemplo, la compacidad de la bola unidad cerrada en la topología débil. Me pregunto si hay algún tipo de conversar con el hecho de que cada subespacio cerrado de un espacio de Banach es reflexiva.
Es decir, vamos a $X$ ser un espacio de Banach tal que cada apropiado subespacio cerrado de $X$ es reflexiva. ¿Esto implica que $X$ sí es reflexivo?
Haciendo mis comentarios en una respuesta: No hay ninguna tal espacios de Banach.
Asumir que cada apropiado subespacio de $X$ es reflexiva. No tome un cero continuo lineal funcional $\varphi: X \to \mathbb{R}$. Deje $Y = \operatorname{Ker}{\varphi}$ y elija $x_0 \in X$$\varphi(x_0) = 1$. Por la continuidad de $\varphi$ el espacio $Y$ es un subespacio cerrado. El mapa de $Y \oplus \mathbb{R} \to X$ $(y,t) \mapsto y + t x_0$ es continua con inversa continua $x \mapsto (x - \varphi(x)\cdot x_0,\, \varphi(x))$, por lo tanto $X \cong Y \oplus \mathbb{R}$. Por hipótesis de $Y$ es reflexiva, por lo tanto también lo es $Y \oplus \mathbb{R}$ e lo $X$ es reflexiva, demasiado. La sustitución de $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ da el mismo para los complejos espacios de Banach.
El debilitamiento de la hipótesis de Robert sugirió hace un poco más sutil, pero todavía manejable:
Todos los no-reflexiva de Banach espacio contiene un no-reflexiva subespacio cerrado de infinito codimension.
(Bourbaki, Topológicos, espacios vectoriales 1, Ejercicio 12 del Capítulo IV, §5, página IV.69.)
Pasando a la contrapositivo, si cada subespacio cerrado de infinito codimension es reflexiva, a continuación, $X$ debe ser reflexivo.
La siguiente es una versión ligeramente ampliada de la sugerencia dada por Bourbaki:
Por el Eberlein–Šmulian teorema, un no-reflexiva espacio de Banach $X$ contiene una secuencia delimitada $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ sin la débil acumulación de punto. Tenga en cuenta que esto implica que el $x_n$ debe abarcar el infinito-dimensional subespacio de $X$. El uso de la Riesz-lema en casi vectores ortogonales a subespacios cerrados, no es difícil extraer una larga $(x_{n_k})_{k=1}^{\infty}$ y un topológicamente independiente de la secuencia de $(y_k)_{k=1}^{\infty}$ tal que $\|x_{n_k} - y_{k}\| \leq \frac{1}{k}$ [topológicamente independiente significa que no $y_k$ es en el cerrado lineal lapso de $\{y_n\}_{n \neq k}$ ]. Esto da lugar a que cada día más débil acumulación punto de la $y_k$ es también una débil acumulación punto de la $x_n$. El subespacio cerrado $Y$ generado por el $\{y_{2k}\}$ es, pues, un no-reflexiva subespacio de $X$ (por Eberlein–Šmulian de nuevo) y tiene una infinidad de codimension por la construcción.
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