El colimit de todos finito-dimensional espacios vectoriales

Question

Deje $\mathsf{iFinVect}_K$ ser la categoría de finito-dimensional espacios vectoriales con inyectiva lineal mapas y $X : \mathsf{iFinVect}_K \to \mathsf{Vect}_K$ ser la inclusión functor. A continuación, $\mathrm{colim}(X)$ existe. Esto es debido a que $\mathsf{Vect}_K$ es cocomplete y $\mathsf{iFinVect}_K$ es esencialmente pequeños (aunque no es pequeño).

Este colimit parece ser un poco extraño para mí, sin embargo. Combinamos todos finito-dimensional espacios vectoriales en un único gran espacio vectorial. Las incrustaciones son naturales con respecto a todos los inyectiva lineal mapas entre finito-dimensional espacios vectoriales. Podemos hacer de este espacio vectorial más explícito? Es, tal vez, incluso un objeto conocido? Podemos encontrar una base?

Cada elemento de a $\mathrm{colim}(X)$ debe tener la forma $\iota_V(v)$ para algunos finito-dimensional espacio vectorial $V$ y algunos vectores $v \in V$ donde $\iota_V : V \to \mathrm{colim}(X)$ es el colimit inclusión. Esto es debido a que para cada $V,W \in \mathsf{iFinVect}_K$ hay algo de $U \in \mathsf{iFinVect}_K$ con morfismos $V \xrightarrow{f} U \xleftarrow{g} W$, es decir, el subproducto. Esto implica $\iota_V(v)+\iota_W(w) = \iota_U(f(v)+g(w))$. Por supuesto, tenemos $\lambda \cdot \iota_V(v)=\iota_V(\lambda \cdot v)$$\lambda \in K$. Esto muestra cómo calcular con elementos de $\mathrm{colim}(X)$.

Observe, sin embargo, que el $\mathsf{iFinVect}_K$ no está filtrada (porque el único paralelo morfismos que puede ser coequalized por algunos de morfismos son ya iguales). Por esta razón creo que a priori no es tan fácil decidir cuando dos elementos de un colimit, decir $\iota_V(v)$$\iota_W(w)$, son iguales. Basta con encontrar un criterio cuando algún elemento $\iota_V(v)$ es cero. Esto puede suceder cuando se $v \neq 0$! Por ejemplo, tenemos $0=\iota_V(v)+\iota_V(-v) = \iota_{V \oplus V}((v,-v))$.

Así que, probablemente, lo primero que debe contestar: ¿tenemos $\mathrm{colim}(X) \neq 0$?

Answer 1

El colimit es el cero del espacio.

Primero vamos a demostrar que cuando el campo $K$ no es el campo de $\mathbb{F}_2$ con dos elementos. Escoge un escalar $\lambda \in K \setminus \{0,1\}$. Para cualquier finito-dimensional espacio vectorial $V$ y cualquier elemento $v$$V$, la escala del mapa de $\lambda:V\to V$ los rendimientos de la igualdad de $i_V(v)=i_V(\lambda v) = \lambda i_V(v)$. Por lo tanto $i_V(v) = 0$. Como esto es cierto para cualquier elemento de un espacio vectorial, el colimit tiene que ser cero.

Ahora, cuando $K=\mathbb{F}_2$, vamos a $V$ cualquier $\mathbb{F}_2$-espacio vectorial de dimensión $2$ o más, y deje $v$ ser cualquier elemento no nulo de a $V$. No existe una única lineal mapa de $f:\mathbb{F}_2\to V$ envío de $1$$v$. Por lo tanto $i_{\mathbb{F}_2}(1) = i_V(f(1)) = i_V(v)$. Esto demuestra que todos los no-cero elementos de $V$ tienen la misma imagen en $i_V$. Esto sólo es posible si $i_V$ es el cero mapa. Esto demuestra que la colimit es de nuevo el cero del espacio. (Tenga en cuenta que este argumento funciona para cualquier campo).