Deje iFinVectK ser la categoría de finito-dimensional espacios vectoriales con inyectiva lineal mapas y X:iFinVectK→VectK ser la inclusión functor. A continuación, colim(X) existe. Esto es debido a que VectK es cocomplete y iFinVectK es esencialmente pequeños (aunque no es pequeño).
Este colimit parece ser un poco extraño para mí, sin embargo. Combinamos todos finito-dimensional espacios vectoriales en un único gran espacio vectorial. Las incrustaciones son naturales con respecto a todos los inyectiva lineal mapas entre finito-dimensional espacios vectoriales. Podemos hacer de este espacio vectorial más explícito? Es, tal vez, incluso un objeto conocido? Podemos encontrar una base?
Cada elemento de a colim(X) debe tener la forma ιV(v) para algunos finito-dimensional espacio vectorial V y algunos vectores v∈V donde ιV:V→colim(X) es el colimit inclusión. Esto es debido a que para cada V,W∈iFinVectK hay algo de U∈iFinVectK con morfismos Vf→Ug←W, es decir, el subproducto. Esto implica ιV(v)+ιW(w)=ιU(f(v)+g(w)). Por supuesto, tenemos λ⋅ιV(v)=ιV(λ⋅v)λ∈K. Esto muestra cómo calcular con elementos de colim(X).
Observe, sin embargo, que el iFinVectK no está filtrada (porque el único paralelo morfismos que puede ser coequalized por algunos de morfismos son ya iguales). Por esta razón creo que a priori no es tan fácil decidir cuando dos elementos de un colimit, decir ιV(v)ιW(w), son iguales. Basta con encontrar un criterio cuando algún elemento ιV(v) es cero. Esto puede suceder cuando se v≠0! Por ejemplo, tenemos 0=ιV(v)+ιV(−v)=ιV⊕V((v,−v)).
Así que, probablemente, lo primero que debe contestar: ¿tenemos colim(X)≠0?