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El colimit de todos finito-dimensional espacios vectoriales

Deje iFinVectK ser la categoría de finito-dimensional espacios vectoriales con inyectiva lineal mapas y X:iFinVectKVectK ser la inclusión functor. A continuación, colim(X) existe. Esto es debido a que VectK es cocomplete y iFinVectK es esencialmente pequeños (aunque no es pequeño).

Este colimit parece ser un poco extraño para mí, sin embargo. Combinamos todos finito-dimensional espacios vectoriales en un único gran espacio vectorial. Las incrustaciones son naturales con respecto a todos los inyectiva lineal mapas entre finito-dimensional espacios vectoriales. Podemos hacer de este espacio vectorial más explícito? Es, tal vez, incluso un objeto conocido? Podemos encontrar una base?

Cada elemento de a colim(X) debe tener la forma ιV(v) para algunos finito-dimensional espacio vectorial V y algunos vectores vV donde ιV:Vcolim(X) es el colimit inclusión. Esto es debido a que para cada V,WiFinVectK hay algo de UiFinVectK con morfismos VfUgW, es decir, el subproducto. Esto implica ιV(v)+ιW(w)=ιU(f(v)+g(w)). Por supuesto, tenemos λιV(v)=ιV(λv)λK. Esto muestra cómo calcular con elementos de colim(X).

Observe, sin embargo, que el iFinVectK no está filtrada (porque el único paralelo morfismos que puede ser coequalized por algunos de morfismos son ya iguales). Por esta razón creo que a priori no es tan fácil decidir cuando dos elementos de un colimit, decir ιV(v)ιW(w), son iguales. Basta con encontrar un criterio cuando algún elemento ιV(v) es cero. Esto puede suceder cuando se v0! Por ejemplo, tenemos 0=ιV(v)+ιV(v)=ιVV((v,v)).

Así que, probablemente, lo primero que debe contestar: ¿tenemos colim(X)0?

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BenjaminBallard Puntos 111

El colimit es el cero del espacio.

Primero vamos a demostrar que cuando el campo K no es el campo de F2 con dos elementos. Escoge un escalar λK{0,1}. Para cualquier finito-dimensional espacio vectorial V y cualquier elemento vV, la escala del mapa de λ:VV los rendimientos de la igualdad de iV(v)=iV(λv)=λiV(v). Por lo tanto iV(v)=0. Como esto es cierto para cualquier elemento de un espacio vectorial, el colimit tiene que ser cero.

Ahora, cuando K=F2, vamos a V cualquier F2-espacio vectorial de dimensión 2 o más, y deje v ser cualquier elemento no nulo de a V. No existe una única lineal mapa de f:F2V envío de 1v. Por lo tanto iF2(1)=iV(f(1))=iV(v). Esto demuestra que todos los no-cero elementos de V tienen la misma imagen en iV. Esto sólo es posible si iV es el cero mapa. Esto demuestra que la colimit es de nuevo el cero del espacio. (Tenga en cuenta que este argumento funciona para cualquier campo).

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