Mapa continuo y los números irracionales

Question

Mi pregunta es la siguiente :

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser un mapa continuo como cada número irracional es asignado a un número racional (es decir,$f(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q})\subset\mathbb{Q}$). Mostrar que $f$ es una constante mapa.

Lo que he hecho :

Supongamos que $f$ no es una constante del mapa, es decir, no existe $x,y\in\mathbb{R}$ tal que $f(x)\neq f(y).$ $f$ es continua, el teorema del valor intermedio nos da ese $[f(x),f(y)]\subset f([x,y]).$, Pero, como $$f([x,y])\subset f(\mathbb{R})=f(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\,\cup\,\mathbb{Q})=f(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q})\,\cup\,\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{f(p_n)\}\subset\mathbb{Q}\,\cup\,\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{f(p_n)\},$$ where $p_n$ is a sequence which describes $\mathbb{Q},$ we would get that $[f(x),f(y)]$ is a subset of a countable set and so is countable, which is a contradiction and so $f$ es constante.

Mis preguntas : Es mi prueba correcta, y si sí, ¿alguien ve otra manera de responder a ella ?

Gracias por sus comentarios, y ¡feliz año nuevo !

Answer 1

Se ve bien! Como una nota del lado, como usted pidió métodos alternativos, usted no tiene que formular la prueba por contradicción. Tenga en cuenta que la imagen de $f$ es $$ f(\mathbb{R})=f(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q})=f(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\cup f(\mathbb{Q})=A\cup \{f(q_n):n\geq1\} $$ Donde $A\subset \mathbb{Q}$ $q_n$ es una enumeración de los racionales. Por lo tanto $f(\mathbb{R})$ es contable, y un mapa continuo con una contables de la imagen es constante.

Answer 2

Muy buena la prueba! Es correcto.