Estoy buscando una forma explícita para el anillo de campo de clase de la orden de $\mathbb{Z}[\sqrt{-19}]$ en el cuadrática campo $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$. ¿Alguien sabe si hay alguna y cómo es?
Respuesta
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Deje $u = \frac{1+ \sqrt{-19}}2$, de modo que el anillo de enteros es $O = \mathbb Z[u]$.
Las unidades de$O$$U=\{+1;-1\}$.
Su anillo de la clase de campo está relacionado con el campo de clase de conductor de $(2)$. Modulo $(2)$, $U$ es trivial, y $(O/(2))^* = \{1;u;1+u\}$ es cíclico de orden $3$.
Para cada clase de $c$ mod $(2)$, obtenemos un correspondiente entramado de la clase $\Lambda_c = \langle (2), c \rangle$ cuyo anillo de endomorfismo es $\Bbb Z[\sqrt{-19}]$ : obtenemos $\Lambda_1 = \langle 1,2u\rangle = \Bbb Z[\sqrt{-19}], \Lambda_u = \langle 2,u \rangle, \Lambda_{1+u} = \langle 2,1+u \rangle$.
En general, los que no son distintas desde $\Lambda_c = \Lambda_{xc}$ $x$ primer $n$, por lo que esta correspondencia de los factores a través de $(\Bbb Z/n \Bbb Z)^*$. Si $L_n$ es el campo de clase de conductor de $(n)$ $K_n$ es el anillo de la clase de campo de $\Bbb Z[nu]$, $Gal(L_n,K_n) \cong (\Bbb Z/n \Bbb Z)^*$ y en realidad $L_n = K_n (\zeta_n)$. Al $n=2$, este grupo es trivial, por lo $L_2 = K_2$ y la correspondencia uno-a-uno.
Deje $L$ ser el campo de clase de $K = \Bbb Q(\sqrt{-19})$ de los conductores $(2)$. Sabemos que $K \subset L$ es cíclica de grado $3$. Desde la conjugación de $K$ $\Bbb Q$ permutes $u$$1-u$, el grupo de Galois de $L$ $\Bbb Q$ no es abelian, por lo que es isomorfo a $S_3$.
Conseguir una explícita polinomio $P$ $\Bbb Q$ grado $3$ tal que $L$ es su división de campo es difícil, pero factible para grado $3$ extensiones.
Usted puede utilizar el sistema modular de invariantes $j$, y recoger $P(X) = \left(X-j(\sqrt{-19})\right)\left(X-j(\frac{1+\sqrt{-19}}4)\right)\left(X-j(\frac{-1+\sqrt{-19}}4)\right)$, dando el lugar unenlightening $P(X) = X^3 - 784074438864 X^2 + 1128678666363648 X - 827237892283232260$ (de acuerdo a wolframalpha).
Deje $\sigma$ ser un generador de $Gal(L/K)$ y escoger un generador de $x$ tal que $L=K(x)$.
Desde $L/K$ es cíclico de orden $3$ y $\zeta_3 \notin K$, $L(\zeta_3)/K$ es cíclico de orden $6$.
Definir $\alpha = (x + \zeta_3 x^\sigma + \zeta_3^2 x^{\sigma^2})$$\beta = (x + \zeta_3^2 x^\sigma + \zeta_3 x^{\sigma^2})$.
Algunos cálculos muestran que $\alpha \beta \in K$, $\alpha^3,\beta^3 \in K(\zeta_3)$, que $Gal(L(\zeta_3)/K)$ es generado por un mapa de $\tau : \alpha \mapsto \zeta_3 \beta \mapsto \zeta_3 \alpha \mapsto \beta \mapsto \zeta_3^2 \alpha \mapsto \zeta_3^2 \beta \mapsto \alpha$. Por lo tanto $L$ es determinado por la elección de algunos de los $\alpha^3 \in K(\zeta_3)$ (hasta los cubos de una inversión), cuya norma $\alpha^3\beta^3$ es un cubo de $(\alpha\beta)^3$$K$.
Siguiente, $L$ (e $L(\zeta_3)$) se supone que Galois sobre $\Bbb Q$, lo que significa que $\bar{\alpha}$ debe estar en allí también. Después de mirar cuando dos raíz cúbica da la extensión de la misma, esto es equivalente a uno de $\alpha/\bar{\alpha}$ o $\alpha \bar \alpha$$K(\zeta_3)$. En el primer caso, $L = K(\zeta_3,\alpha^2) = K(\zeta_3,\alpha \bar \alpha)$, por lo que podemos elegir efectivamente $\alpha^3 \in \Bbb Q(\sqrt {57})$. En el segundo caso, $L = K(\zeta_3,\alpha) = K(\zeta_3,\alpha (\alpha\beta) (\alpha\bar{\alpha})) = K(\zeta_3,\beta\bar \alpha)$, por lo que podemos elegir efectivamente $\alpha^3 \in \Bbb Q(\sqrt{-3})$$\alpha\bar{\alpha} \in \Bbb Q$, por lo que la cosa no tiene nada que ver con $\Bbb Q(\sqrt{-19})$ $\Bbb Q(\zeta_3,\alpha)/\Bbb Q$ es abelian cíclica de grado $6$.
Así que ahora estamos buscando adecuados $\alpha^3 \in \Bbb Q(\sqrt{57})$ cuya norma es un cubo en $\Bbb Q$. Deje $v = \frac {-1+\sqrt{57}}2$. Sabemos que $L/K$ sólo ramifies en $(2)$, y así no $L(\zeta_3)/K(\zeta_3)$. En $\Bbb Q(\sqrt {57})$, $(2)$ se divide en $(2,v)(2,v+1)$. Esos son los principales, como $-2 = (4+v)(3-v)$. Por lo tanto debemos tener $\alpha^3 = 8+2v$ hasta los cubos y las unidades. El grupo de la unidad es generado por $(171+40v)$$-1$, lo que deja a $3$ opciones para $L(\zeta_3)$. Por último, si $\alpha^3 \neq \pm 1 \pmod 3$, $K(\zeta_3) \subset L(\zeta_3)$ más ramifican en $(3)$. Así que nos quedamos con exactamente una posibilidad, $\alpha^3 = (8+2v)(171+40v) = 2197 + 291\sqrt{57}$.
Por lo tanto $L = K(x = \alpha-2/\alpha)$$\alpha^3 = 2197 + 291\sqrt{57}$, y el mínimo de polinomio sobre $K$ de este generador es $P(x) = x^3 + 6x - 4394$. Después de un par de cálculos, obtenemos una explícita automorphism la generación de $Gal(L/K)$$x \mapsto - \frac x2 + \frac {(x^2+8)(x^2+2)}{584\sqrt{-19}}$, y podemos comprobar experimentalmente que se comporta de manera apropiada para los primos de no dividir el discriminante de $P$:
- $P$ se divide en $3$ factores modulo $p$ fib ($-19$ es un cuadrado modulo $p$ $(p)$ se divide en $(p_1)(p_2)$$p_i = 1 \pmod 2$) iff $p = a^2 + 19b^2$
- $P$ se divide en $2$ factores modulo $p$ fib $-19$ no es un cuadrado modulo $p$
- $P$ no se tiene en cuenta el modulo $p$ fib ($-19$ es un cuadrado modulo $p$ $(p)$ se divide en $(p_1)(p_2)$$p_i \neq 1 \pmod 2$) iff $p = 4a^2 + 2ab + 5b^2$
