Es $\sin\left(\frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\cdots\sin x\cdots\right)\right)=\frac4{\pi}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\sin(2k+1)x}{2k+1}$?

Question

Podemos ver intuitivamente que $$ f(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\cdots\sin{x}\cdots\right)\right)\right) $$ es la onda cuadrada con un periodo de $2\pi$ y tiene el valor de $0$ en los saltos, yo.e $$ f(x)= \begin{casos} 0 & \text{si } \frac{x}{\pi}\in\mathbb{Z}\\ \mathrm{signo}(\sin{x}) & \text{en caso contrario} \end{casos} $$ Mira este gráfico de $x$ y $\sin{\frac{\pi}{2}x}$ para ver por qué :

Pero $f(x)$ es también exactamente igual a la serie de Fourier de la onda cuadrada con un periodo de $2\pi$ desde Dirichlet condiciones de asegurar que la serie converge a $0$ (el punto medio) en los saltos como hacer $f(x)$.

Por lo tanto, podríamos ser capaces de mostrar que, $$ \sin\left(\frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\cdots\sin{x}\cdots\right)\right)\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin{(2k+1)x}}{2k+1} $$

¿Alguien tiene una idea de cómo probar esto directamente? Hay otras series de Fourier que son iguales a una fórmula recursiva de las funciones trigonométricas?

Es decir, el problema es demostrar que si $$ f_0(x)=\sin{x},\quad\text{y}\quad f_n(x)=\sin{\left(\frac{\pi}{2}f_{n-1}(x)\right)} $$ a continuación, $$ \lim_{n\to\infty}{f_n(x)}=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin{(2k+1)x}}{2k+1} $$

Answer 1

No creo que usted puede fácilmente calcular $\mathcal F{\left( f \circ f \right)}$ de $\mathcal F{(f)}$, donde $\mathcal F$ es la transformada de Fourier.

Pero se puede demostrar la afirmación anterior ($f^n$ $f \circ \cdots \circ f$, $$n-veces):

$$ \lim_{n \to +\infty} f^n(x) = \begin{casos} 0 & \text{si } \frac{x}{\pi}\in\mathbb{Z}\\ \mathrm{signo}(\sin{x}) & \text{en caso contrario} \end{casos}$$

Y luego deducir:

$$ \lim_{n\to\infty}{f^n(x)}=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin{(2k+1)x}}{2k+1} $$ $f(x) = \sin( \frac{\pi}{2} x) $ envía $[-1,1]$ en sí mismo, no tiene $3$ puntos fijos: $-1, 0$ y $1$.

La derivada en esos puntos es respectivamente: $0, \frac{\pi}{2} > $ 1 y $0$. Por lo que $-1$ y $1$ son super-atraer a los puntos fijos (cualquier punto cercano a $-1$ o $1$ acercarnos más y más), mientras que $0$ es repelente de punto fijo (cualquier punto cercano a $0$ desplazar).

Si $0 < x < 1$, $f^n(x) \a 1$ (muy rápido) y si $-1 < x < 0$, $f^n(x) \a -1$.

Puedo dar más detalles, si es necesario.

Answer 2

$$f(x)=\underbrace{\sin\bigg(\frac\pi2f(x)\bigg)}_{\Large\en[-1,1]}\ffi\frac{\pecado g(x)}{g(x)}=\frac2\pi,\quad\text{donde }g(x)=\frac\pi2f(x)$$ Pero es claro a partir de la gráfica de la función de sinc que esto sólo ocurre cuando el argumento es de $\dfrac\pi2$ implica $f(x)=1$. Así que todo lo que queda es el que muestra que $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{\sin(2k+1)x}{2k+1}\equiv\frac\pi4$ para todo $x\no\in\mathbb Z[\pi]$, que es de hecho una declaración veraz.