Raíces de $8x^3-4x^2-4x+1$

Question

Se sabe que las raíces del polinomio $8x^3-4x^2-4x+1$ son $\cos\frac{\pi}{7}$, $\cos\frac{3\pi}{7}$ y $\cos\frac{5\pi}{7}$.

Sin embargo, esto es lo que Wolfram Alpha/Wolfram Mathematica da: $$x = \frac{1}{6}+\frac{7^{2/3}}{3 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}+\frac{1}{6} \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}$$ $$x= \frac{1}{6}-\frac{\left(\frac{7}{2}\right)^{2/3} \left(1+i \sqrt{3}\right)}{6 \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}-\frac{1}{12} \left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}$$ $$x= \frac{1}{6}-\frac{\left(\frac{7}{2}\right)^{2/3} \left(1-i \sqrt{3}\right)}{6 \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}-\frac{1}{12} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}$$

Estas deben ser las mismas raíces, pero ¿hay alguna manera de mostrarlo? ¿O al menos una forma de demostrar que estas raíces dadas por Wolfram son reales?

¿Puedes mostrar que $$\cos\frac{\pi}{7} = \frac{1}{6}+\frac{7^{2/3}}{3 2^{2/3} \sqrt[3]{-1+3 i \sqrt{3}}}+\frac{1}{6} \sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}$$

Answer 1

Se puede demostrar, por ejemplo, que al poner $a= 2 \cos(\pi/7)$ y $b=a^2-1$, si $ab=a+b$ y $b^2=1+a+b=1+ab$, entonces en realidad estás tratando con las cuerdas del heptágono y que esos valores son correctos.

Es relativamente fácil demostrar con monedas en una mesa, que estas dos relaciones corresponden a las soluciones que $a$ y $1/b$ resuelven $x^3 - x^2 - 2x + 1$, en cuyo caso $a/2$ resuelve la ecuación en el OP.

Cuando vi la expansión de la raíz en números complejos, lo que inmediatamente vino a mi mente fue la construcción del heptágono usando un trisector, como se muestra en la página 199 de Conway + Guy 'El libro de los Números'. La construcción básica implica una retícula hexagonal (números de Eisenstein), con un círculo de radio 2 centrado en algún punto, que se convierte en la circunferencia.

Se construye el eje x a través del centro, y un 'eje y', que pasa por el primer punto y atraviesa el punto U en cis(120 grados)(es decir, $(-1+\sqrt{-3})/2$.

El punto V es otro punto de la retícula, en $-3 \sqrt{-3})$. La línea que pasa por U y V interseca el 'eje y'. Este ángulo mínimo se triseca, el corte más cercano al 'eje y' se extiende hasta el eje x, al igual que las otras dos líneas, que hacen 60 grados con la primera.

Estas golpean el eje x, y las perpendiculares desde estos tres puntos golpean la curva de vértices en los vértices del heptágono.

Answer 2

En primer lugar, en lo que respecta a la aparición de $i$ en las soluciones, es muy conocido que, cuando un cúbico irreducible tiene tres raíces reales, entonces cualquier expresión de esas raíces en términos de radicales debe involucrar la unidad imaginaria $i$. Esto es el llamado casus irreducibilis y fue quizás la motivación histórica más fundamental para la aceptación de los números complejos.

En segundo lugar, en lo que respecta al uso de Mathematica para ver que estas expresiones son iguales, puedes usar el comando RootReduce para poner cualquiera de estas en la misma forma canónica. Así, por ejemplo, la siguiente entrada devuelve cero:

RootReduce[(1+7^(2/3)/((-1+(3*I)*Sqrt[3])/2)^(1/3)+
  ((7*(-1+(3*I)*Sqrt[3]))/2)^(1/3))/6 - Cos[Pi/7]]

Esto también funciona en WolframAlpha también.