Calcular: $\sum_{k=0}^{n-2} 2^{k} \tan \left(\frac{\pi}{2^{n-k}}\right)$

Question

Calcular la siguiente suma de números enteros $n\ge2$:

$$\sum_{k=0}^{n-2} 2^{k} \tan \left(\frac{\pi}{2^{n-k}}\right)$$

Estoy tratando de obtener una forma cerrada si es que eso es posible.

Answer 1

Considere la posibilidad de $$\prod_{k = 0}^{n - 2}\cos(2^k \theta)$$ Multiplicando numerador y denominador por $2\sin(\theta)$ somos, $$\frac{2\sin(\theta)\cos(\theta)}{2\sin(\theta)}\prod_{k = 1}^{n - 2} \cos(2^k\theta) = \frac{\sin(2\theta)}{2\sin(\theta)}\prod_{k = 1}^{n - 2} \cos(2^k\theta)$$ Ahora, en repetidas ocasiones multiplicando y dividiendo por 2, se puede reducir el anterior, $$\prod_{k = 0}^{n - 2}\cos(2^k \theta) = \frac{\sin(2^{n - 1} \theta)}{2^{n - 1} \sin(\theta)}$$ Tomar registros en ambos lados, $$\sum_{k = 0}^{n - 2}\ln(\cos(2^k \theta)) = \ln(\sin(2^{n - 1} \theta)) - \ln(2^{n - 1}) - \ln(\sin(\theta))$$ La diferenciación de ambos lados w.r.t $\theta$ somos, $$-\sum_{k = 0}^{n - 2}2^k\tan(2^k \theta) = 2^{n - 1}\cot(2^{n - 1} \theta) - \cot(\theta)$$ Sustituto $\theta = \frac{\pi}{2^n}$ arriba para obtener, $$\sum_{k = 0}^{n - 2}2^k\tan\left(\frac{\pi}{2^{n - k}}\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2^n}\right)$$