Son series de Taylor y de alimentación de la serie de la misma "cosa"?

Question

Me preguntaba en la jerga de las Matemáticas, son estos dos "ideas" de la misma? Sé que hemos serie de Taylor, y su especialización en la serie de Maclaurin, pero son de alimentación de la serie de un concepto más general? ¿Cómo cualquiera/todas estas ideas se relacionan con la generación de funciones?

Answer 1

Como otros han señalado, un de potencia de la serie es una serie de $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ (o a veces con $x$ traducido por algunos $x_0$, para convertirse $(x - x_0)$). Normalmente cuando uno dice que la serie de Taylor, uno de los medios de la serie de Taylor de una determinada función suave $f$. (Así que en el discurso matemático, uno no suele decir que "considere la posibilidad de un desarrollo en serie de Taylor". Usted podría decir que "considere la posibilidad de una potencia de serie", o "considerar la serie de Taylor de la función $f$". Al menos, esta es mi experiencia.)

Una complicación a la hora de hacer demasiado de una distinción es que cualquier potencia de la serie (con coeficientes reales) es la serie de Taylor de una función suave (esto es un teorema de Borel). De manera que la distinción es más terminológica que lógica.

Añadido: del teorema de Borel se discute aquí.

Answer 2

Serie de Taylor son un tipo especial de poder de la serie. Un desarrollo en serie de Taylor tiene una forma muy especial, dada por $$T_f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,$$ and a general power series looks like $$P(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n,$$ where the $a_k$'s are just the constants associated to this power series in particular. The $a_n$'s may not have the form $f^{(n)}(x_0)/n!$, así que no todo poder es una serie de Taylor de la serie (a pesar de que cada serie de Taylor es una potencia de la serie). Edit: como Matt observó, de hecho cada uno de los poderes de la serie es una serie de Taylor, pero la serie de Taylor están asociados a una función particular, y si el $f$ asociado a una determinada potencia de la serie es que no es obvio, lo más probable es que vea la serie se describe como una "potencia de la serie" en lugar de "series de Taylor."

Ambos de estos tipos de series puede ser generalizado a las formas de participación de más variables, y también se puede llegar con tipos de series que involucran potencias negativas de $x$.

Como para la generación de funciones, estos son más formales de los objetos, el análisis de lo que en realidad no tratan el tema de la convergencia, tanto como el análisis de potencia de la serie o series de Taylor. En este caso, los coeficientes son la codificación de la información sobre la secuencia de los números de $\{a_n\}$, y examinamos la serie formalmente para recopilar información acerca de esta secuencia.

Answer 3

Un de potencia de la serie es puramente algebraica objeto, definido como un formal infinita suma $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ cuando la $a_n$ son elementos de algunas anillo de $R$ (por ejemplo, $R=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$). Usted puede elegir cualquier $a_n$ le gusta, y usted todavía tiene una bien definida de alimentación de la serie - uno no tiene que estar preocupado con las cuestiones de convergencia. El conjunto de todo el poder de la serie sobre un anillo de $R$ sí forma un anillo de $R[[x]]$. Estas centrales de la serie ¿ no es , en general, definir las funciones de$R$$R$; en general no hay manera de dar sentido a una infinita suma de los elementos de $R$, así que no hay mejor forma de sustituir un elemento de $R$ $x$ en un poder arbitrario de la serie.

Una serie de Taylor es un tipo especial de energía de la serie de $T_{f,x_0}$ define el uso de un (real o complejo) función suave $f$ y un real/complejo de número de $x_0$, como en Stahl respuesta. Aquí tenemos una forma sensata de hablar de la convergencia de los límites en $\mathbb{R}$$\mathbb{C}$, y de hecho, podemos interpretar $T_f$ nos da una función definida en una vecindad de a $x_0$.

Una generación de función es una potencia de la serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ donde los coeficientes $a_n$ son números naturales. Esta es una expresión algebraica objeto que codifica la secuencia de $\{a_n\}_{n=0}^\infty$, y no en general definir un valor real de la función.

Answer 4

Un de potencia de la serie es una serie cuyos términos son monomials en un cierto número de variables, tales como $$ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \qquad \text{o} \qquad \sum_{m,n=0}^\infty a_{m,n} x^mi^n. $$ Estos son a veces formal algebraica de los objetos que codifican las secuencias en sus coeficientes.

En mi experiencia, el plazo de la serie de Taylor se utiliza cuando la alimentación de la serie se construye a partir de una función. En este contexto, las cuestiones de convergencia son centrales.