Números primos $p$ no de la forma $ab + bc + ac$ $(0 < a < b < c )$ (y preguntas relacionadas).

Question

Si pedimos que los números naturales n no se pueden expresar como $n = ab + bc + ca$ ($0 < a < b < c$) entonces este es un conocido problema abierto. Los números no se pueden expresar en la forma que se llaman de Euler "numerus idoneus" y se cree que son finitos.

Si omitimos la condición de $a < b < c$ y asumen $0 < a \leq b \leq c$ a continuación, se comprobó (suponiendo Generalizada de Riemann Hipótesis) de que hay sólo un número finito de números tales $n$.

Estoy interesado en el problema de expresar un número primo $p$$p = ab + ac + bc$$a \geq 1$$b,c \geq 2$.

Alguien sabe si hay algún resultado conocido relacionados a la expresión de los números primos de la forma? Esto daría lugar (como un corolario) un muy hermoso teorema relacionado con árboles de expansión en los gráficos.

Answer 1

Uno puede conseguir cada prime que NO es un Sophie Germain prime; es decir, tales que (p+1)/2 no es primo. Prueba: si (p+1)/2 no es primo, entonces podemos factor p+1 = xy. Si p+1 no es primo, se puede imponer que x y y son mayores que 2 y, puesto que p es primo, no es de la forma x^2-1 (excepto para p=3). Así que podemos tomar 2 < x < y.

A continuación, tomar (a,b,c) = (1,x-1,y-1).

13 y 37 no se puede lograr.

Answer 2

Buscando en la enciclopedia de entero sequnces, he encontrado que el conjunto de los números no se pueden expresar como ab + bc + ca 0 < a < b < c es finito.

http://oeis.org/A000926

Chowla mostró que la lista es finito y Weinberger mostró que hay un nuevo plazo.

Answer 3

Puedo obtener todos los números primos de la forma $3n+2$. deje $a=1, b=2$ $c=n$ tenemos $1.2+1n+2n=3n+2$. $n$ es mayor que o igual a $2$. Usted no puede obtener un $2,3$ $5$ o $7$ como su número más pequeño es $8$. Esto le da un número infinito de números primos, debido a la del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas. Así tenemos todos los números primos de la forma $3n+2$ mayor que $8$. Podemos conseguir algunos de los números primos de la forma $3n+1 1,3,4$ da $1.3 +1.4+3.4=19$. Podemos tener una familia infinita $3,4,3n+1$ da $3.4+ 9n+3+12n+4 = 21n+19$ todos estos son de la forma $3n+1$ y de nuevo por Dirichlet del teorema de que hay un número infinito de estos. De otros puestos que tiene el siguiente argumento: Ahora si $p$ es mayor que $11$,$(p+1)/2$ está compuesto por cualquier prime $p$,$p+1$ puede ser tenidos en cuenta en la $x,y$ más grande que el $2$ y si tomamos $1, x-1,y-1$ nos pondremos $(x-1)+(y-1)+(x-1)(y-1) =p$, lo Que elimina todos los números primos excepto aquellos en los $p+1/2$ es primo. No creo que estas son Sophie Germain primos, si se nos iba a hacer a medida que tienen todos los números primos de la forma $6n+5$ mayor que $8$ ya representados y Sophie Germain de los números primos son de la forma $6n+5$. De otra, los siguientes no se pueden expresar $2,3,5,7,13$ $37$ y hay más de un posible primer no se pueden expresar a partir de lo anterior, debe ser de la forma $3n+1$ también debe ser mayor que $100000000$ ver los siguientes:

http://oeis.org/A000926

Answer 4

Respuesta parcial: el Conjunto a=1, por lo que desea enumerar los números primos de la forma b+c+bc = (b+1)(c+1)-1. Esto cubre todos los números primos p tales que p+1 es un producto de dos factores de tamaño de al menos 3. Las sobras (casi seguro cubiertos por otros valores de a para los suficientemente grandes números primos) vienen de Sophie Germain por pares, que se conjetura que es infinito, sino más bien escasa.

De manera más general, los contraejemplos son exactamente los números primos p tales que para cualquier positivo n, p+n² no es un producto de dos números estrictamente mayor que n+1. Basta comprobar n a p/4, puesto que, a mayor n, (n+2)² - n² será mayor que la de p.