Demostrando una familia ortogonal de funciones se completa durante un cierto intervalo de

Question

Estoy leyendo Aplicada Ecuaciones Diferenciales Parciales por DuChateu y Zachmann, y el primer par de capítulos contienen un poco de revisión de la serie de Fourier, así como la teoría sobre el L2 integrable funciones y ortogonal/ortonormales base de conjuntos de funciones.

Algunos de los ejercicios requieren que muestran que un particular de la familia de funciones no es una completa ortogonal o ortonormales de la familia por encima de un cierto intervalo. La definición dada por el libro que yo soy capaz de recordar es que una familia de funciones no es completo en L2 si $\exists$ un no-cero de la función $g \in L^2: (g, u_k) = 0$, $\{u_k: k = 1, 2,\ldots\}$ La definición completa de una familia completa de funciones está aquí.

Allí no parecen ser de cualquiera de los ejercicios de la prueba de una familia de funciones es completa; parece que esta es una tarea más difícil. Por ejemplo, la familia de funciones $(\frac{2}{\pi})^{\frac{1}{2}}\sin(kx)$ se declaró a ser completa y ortonormales en el intervalo de $L^2(0, \pi)$; IIRC la familia de función $\sin(\frac{n\pi x}{L})$ es completa y ortogonal (pero no ortonormales) en el intervalo de $(0, L)$.

No creo que la definición en 2 sería de mucha ayuda, sin duda, uno no puede evaluar cada posible a trozos función continua en el intervalo en cuestión? (Quizá simpleminded) enfoque que yo tenía en mente (suponiendo que la inversa de la anterior definición de una función que no está completa, es cierto) sería ir de allí con una prueba por contradicción, o bien de alguna forma demostrar que si hay alguna función g que pretende hacer del producto interior $(g, u_k)$ cero en el intervalo, que esta función por necesidad han de converger a $u_j, j \neq k$ en todos los puntos en el intervalo de hacer que el producto interior integral ir a cero. No he llegado muy lejos en mis intentos, sin embargo, y algún consejo sobre cómo ir sobre esto se agradece.

Answer 1

La forma habitual para demostrar que las familias de funciones completas en este sentido es a través de la Piedra-teorema de Weierstrass, una prueba de que se puede encontrar aquí. Básicamente, esto indica que una familia de funciones con valores de $A$ sobre un compacto Hausdorff espacio de $S$ es completo si las siguientes condiciones:

• $A$ es un álgebra, es decir,
  • $\forall f, g \in A: fg \in A$
  • $\forall f, g \in A: f + g \in A$
  • $\forall \lambda \in \mathbb{R}, f \in A: \lambda f \in A$
  • (todas estas operaciones se definen pointwise, es decir,$fg(x) = f(x)g(x)$, etc)
• $A$ contiene todas las constantes de funciones, es decir,
  • $\forall \lambda \in \mathbb{R} : \exists f \in A \quad f(x) = \lambda \forall x$
• $A$ separa puntos, es decir,
  • $\forall x, y \in S : \exists f \in A \quad f(x) \ne f(y)$

Estas condiciones para un gran número de las familias de funciones, incluyendo la de los polinomios y de funciones trigonométricas.