Resolver $\sum nx^n$

Question

Estoy tratando de encontrar una solución de forma cerrada para $\sum_{n\ge0} nx^n\text{, where }\lvert x \rvert<1$ .

Esta solución tiene sentido para mí:

$\sum_{n\ge0} x^n=(1-x)^{-1} \\ \frac{d}{d x} \sum_{n\ge0} x^n = \frac{d}{d x} (1-x)^{-1} \\ \sum_{n\ge0} nx^{n-1} = (1-x)^{-2} \\ x \sum_{n\ge0} n x^{n-1} = x(1-x)^{-2} \\ \sum_{n\ge0} nx^n=\frac x{(1-x)^2}$

Sin embargo, un libro Estoy leyendo que se utiliza el siguiente método:

$$\sum_{n\ge0}nx^n=\sum_{n\ge0}x\frac d{dx}x^n= x\frac d{dx}\sum\limits_{n\ge0}x^n=x\frac d{dx}\frac1{1-x}=\frac x{(1-x)^2}$$

Esto parece estar estrechamente relacionado con la solución que he descrito anteriormente, pero tengo dificultades para entenderlo. Puede alguien explicar el método que se utiliza aquí?

Answer 1

Se asume la convergencia de la serie en todo momento.

$$\begin{align} \sum\limits_{n\ge0}nx^n&=\sum\limits_{n\ge0}x(x^n)' &\text{integrate } nx^{n-1}\\ &=x\sum\limits_{n\ge0}(x^n)' &\text{factor } x \,\text{out}\\ &=x\left(\sum\limits_{n\ge0}(x^n)\right)' &\text{differentiate the whole series} \\ &=x\left(\frac1{1-x}\right)' &|x|<1\\ &=\frac x{(1-x)^2} &\text{differentiate }\frac {1}{1-x} \end{align}$$

Answer 2

Pista: La idea básica de que podemos cambiar $\frac{d}{dx}$ y $\sum$ en cualquier subconjunto compacto del disco de convergencia de la serie de potencias.

Answer 3

Tanto tu desarrollo como el del libro son los mismos. La ventaja del método del libro es que apunta a lo siguiente: Si quieres términos en $n x^n$ Se obtienen por $x \dfrac{d}{dx} x^n$ , para conseguir $n^2 x^n$ , lo haces $x \dfrac{d}{d x} \left(x \dfrac{d}{d x} x^n \right)$ y así sucesivamente. Si se utiliza la notación $D$ para el operador $\dfrac{d}{d x}$ se puede escribir $n x^n = x D x^n$ , $n^2 x^n = (x D)^2 x^n$ y en general $n^k x^n = (x D)^k x^n$ y si ahora $p(\cdot)$ es un polinomio cualquiera, combinando varias de las fórmulas anteriores se obtiene $p(n) x^n = p(x D) x^n$ .

Dejemos que $A(x) = \sum_{n \ge 0} a_n x^n$ . Esta idea se aplica término a término a $A(x)$ es: $$ \sum_{n \ge 0} p(n) a_n x^n = p(x D) A(x) $$