¿Por qué es $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ casi igual a $\sqrt{e}$?

Question

¿Por qué es $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ casi igual a $\sqrt{e}$?

Experimentando un poco también he encontrado $\zeta(\frac{8}{3}) \approx e^\frac{1}{4}$, $\zeta(\frac{31}{9}) \approx e^\frac{1}{8}$ y $\zeta(\frac{141}{23}) \approx e^\frac{1}{64}$. También me di cuenta de que $\zeta(x)$ enfoques $e^{2^{-x}}$ pero no estoy seguro de que ayuda a explicar por qué estos casi-igualdades existen. Cómo cuantificar lo sorprendente de estos casi-igualdades son, y cuál es la explicación para ellos, si alguna?

EDIT: parece que Hay un patrón aquí: $\log \zeta(n + (\frac{2}{3})^{n-1}) \approx 2^{-n}$ $n = 1,2,3,4,...$ . Creo que esta fórmula explica las observaciones, pero ¿de dónde provienen?

BONO, ya que he vuelve a etiquetar esto como un soft-pregunta: ¿hay algún mal pero de alguna manera plausible el argumento de que al azar dos números enteros son primos relativos con probabilidad de $\frac{1}{\sqrt{e}}$? Supongo que sería como una Suerte de Larry historia.

Answer 1

$\zeta(2)$ es casi igual a $\sqrt e$ porque si no se estaría preguntando por qué es casi igual a $\log_{10}44$. Honestamente, números interesantes son $\epsilon$-denso en los reales, donde $\epsilon$ depende de lo que te parece interesante, por lo que se garantiza que habrá números interesantes cerca el uno del otro, sin ninguna razón más profunda.

Answer 2

Aquí es una manera de Suerte Larry podría calcular el límite de la probabilidad de que un número es squarefree: Larry ya se sabe que $\zeta(2) \le 2 = 1+\sum_{1 \le n} \frac{1}{n \cdot (n+1)}$, lo que significa que no más de la mitad de todos los números enteros son squareful. Deje $F_{n}:\{1,2,...,n\}\rightarrow\{1,2,...,2 \cdot n\}$ ser un elegido al azar de la función cuya gama se compone de todos los squareful enteros entre $1$$2 \cdot n$. Por lo tanto la condición de ser squarefree es equivalente a no estar en el rango, y ya que la función es elegido al azar, la probabilidad es $(1-\frac{1}{2 \cdot n})^n \rightarrow \frac{1}{\sqrt{e}}$. Pero, por supuesto, la respuesta correcta es $\frac{6}{\pi^2}$.

El problema con lo anterior es que ignora la restricción ", cuya gama se compone de todos los squareful números entre el $1$ $2 \cdot n$ " y la fórmula utilizada sólo se aplica cuando la función es uniformemente elegido. La casi igualdad muestra que esto no siempre un gran error como puede parecer.