Cuando es un $*$-homomorphism entre multiplicador de álgebras estrictamente continua?

Question

La estricta topología en el multiplicador de álgebra $M(A)$ a de una C*-álgebra $A$ es la generada por la seminorms

$$ x\mapsto \| ax \|\qquad x\mapsto\| xa \| \qquad (x\in M(A), a\in A) $$

Mientras que un $*$-homomorphism $\phi : M(A)\to M(B)$ entre los dos multiplicador de álgebras es necesariamente la norma-continuo, si yo entiendo las cosas correctamente no siempre es continua con respecto a la estricta topologías en cualquiera de los lados. ¿Alguien tiene una buena referencia para este?

Por otro lado fácilmente probada en el teorema de los estados que $\phi$ es estrictamente continua si la imagen de $\phi$ contiene $B$. Esto no es necesario, sin embargo; tome $\phi : \mathcal{B}(\ell^2)\to \mathcal{B}(\ell^2)$ a ser el mapa de $x\mapsto sxs^*$ donde $s$ es el cambio unilateral. Esto es estrictamente continua a pesar de que su imagen no contiene $\mathcal{K}(\ell^2)$. Hay otras condiciones que garantizan $\phi$ a ser estrictamente continua?

Estoy particularmente interesado en el caso de que $\phi$ mapas de $A$ a $B$, y ambos son nonunital. Esto es suficiente para mostrar que el $\phi$ es estrictamente continua?

Answer 1

Estoy publicando aquí una respuesta a la última pregunta que yo tenía, ya que no vienen en el MO pregunta. (Los lectores deben buscar las respuestas a las otras preguntas, sin embargo.) Es, esencialmente, una ligera modificación de un comentario por Farah en su libro "Analítica de los Cocientes." (Ver Ejemplo 3.2.3.)

Recordemos que $\ell^\infty$ es el multiplicador de álgebra de $c_0$. Voy a construir una $*$-homomorphism $\phi : \ell^\infty \to \ell^\infty$ que envía a $c_0$ a $c_0$, pero no es estrictamente continua.

Vamos $\mathcal{U}_n$, $n\in\mathbb{N}$, ser una secuencia de nonprincipal ultrafilters. Considere la posibilidad de la $*$-homomorphism $\phi : \ell^\infty \to \ell^\infty$ definido por

$$\phi(x)(n) = \lim_{k\to\mathcal{U}_n} x(k)$$

Desde cada una de las $\mathcal{U}_n$ es nonprincipal, se deduce que el $\phi$ es de $c_0$ a $c_0$; de hecho, $\phi$ es de $c_0$$0$! Pero es obvio que $\phi$ no es estrictamente continua; para ver esto, vamos a $e_k\in\ell^\infty$ ser la secuencia que comienza con $k$-muchos de los $1$'s y termina con $0$'s. A continuación, $e_k$ converge en el estricto topología de la secuencia de $e$ con el valor de la constante $1$. Sin embargo, las imágenes de $\phi(e_k)$ son todos simplemente la constante de la secuencia con el valor de $0$, mientras que el $\phi(e) = e$.