Línea de paquetes de el círculo

Question

Hasta el isomorfismo, creo que existen sólo dos de la línea de paquetes del círculo: el trivial paquete (diffeomorphic a un cilindro) y un paquete que se parece a una banda de Möbius. Aunque parece obvio que la geometría no he podido encontrar un buen argumento para justificarlo. ¿Tienes una idea?

Answer 1

Te voy a mostrar cómo el poderoso (pero sofisticado) la teoría de poleas permite clasificar real de la línea de paquetes en un paracompact espacio topológico.
Esto hará las delicias algebraica de los geómetras y tal vez de motivar a los demás a aprender que esa teoría.

Deje $\mathcal C^*$ (resp. $\mathcal C^*_+)$ denotar la gavilla de continuo en ningún cero de las funciones (resp. gavilla de positiva continua de las funciones) en un paracompact espacio de $X$.
La secuencia exacta $ 0\to \mathcal C^*_+\to \mathcal C^*\stackrel {\text {sign}}\to \mathbb Z/2\mathbb Z\to0 $ da lugar a una larga secuencia exacta en la cohomology de que un fragmento es $$ \cdots \to H^1(X,\mathcal C^*_+) \to H^1(X,\mathcal C^*) \to H^1(X,\mathbb Z/2\mathbb Z)\to H^2(X,\mathcal C^*_+) \to\cdots $$
Ahora tenemos un isomorfismo de poleas $\mathcal C^*_+ \stackrel {\log} {\cong}\mathcal C$ e lo $\mathcal C^*_+$ es acíclicos porque $\mathcal C$ es acíclico (ya que es una buena gavilla por paracompactness de $X$) .
En particular, $H^1(X,\mathcal C^*_+) = H^2(X,\mathcal C^*_+)=0$ de modo que los anteriores cohomological fragmento reduce a $ 0 \to H^1(X,\mathcal C^*) \to H^1(X,\mathbb Z/2\mathbb Z)\to 0 $ y desde $H^1(X,\mathcal C^*)$ clasifica línea de paquetes en $X$ obtenemos el resultado de que la línea de paquetes en $X$ están clasificados por $H^1(X,\mathbb Z/2\mathbb Z)$.

En la geometría diferencial de categoría similar resultado se da con $\mathcal C$ reemplazado por $\mathcal C^\infty$.
Esto produce que el sorprendente resultado de que en un colector de cada línea continua paquete tiene uno y sólo uno de los diferenciales de la estructura (hasta el isomorfismo).

Finalmente, para que el círculo $H^1(S^1,\mathbb Z/2\mathbb Z)=\mathbb Z/2\mathbb Z$, y esto demuestra su resultado .

Comentario
La principal razón por la que estoy publicando esta prueba es para mi récord: nunca he visto en una referencia y quiero ser capaz de recuperarlo en el caso probable de que se me olvide!

Answer 2

La línea de los paquetes son clasificados por la primera Čech cohomology con coeficientes en $\text{GL}^1(\mathbf R)$. Por la normalización de podemos, de hecho, el uso de coeficientes de $\text{O}^1(\mathbf R)=\pm 1$. Mediante el uso de la costumbre revestimiento del círculo, uno ve de inmediato que este cohomology grupo cíclico de orden $2$, generado por la clase de la cinta de Moebius.

Answer 3

Aquí está el boceto de una primaria de la prueba:

Deje $E \overset{\pi}{\longrightarrow} \mathbb{S}^1$ ser una línea de paquete y $p : \mathbb{R} \to \mathbb{S}^1$ ser la costumbre universal de la cubierta.

1. Deje $F= \coprod\limits_{x \in \mathbb{R}} E_{p(x)}$ ser una línea bundle $F \overset{q}{\longrightarrow} \mathbb{R}$ definido por el local como banalizaciones $\varphi= (p_{|V}^{-1} \times \operatorname{Id}) \circ \phi \circ (p \times \operatorname{Id})$ donde $\phi$ es un local de la trivialización de $E \overset{\pi}{\longrightarrow} \mathbb{S}^1$ $V$ es de la primaria de barrio de la overing $\mathbb{R} \to \mathbb{S}^1$. A continuación, $p \times \operatorname{Id} : F \to E$ es una de morfismos.
2. Debido a $\mathbb{R}$ es contráctiles, cada vector paquete es trivial (ver aquí). Deje $\psi : F \to \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ mundial la banalización.
3. Observe que $(p \circ \operatorname{Id}) \circ \psi$ define un surjective suave mapa entre el$[0,2\pi] \times \mathbb{R}$$E$, inyectiva en a $[0,2\pi) \times \mathbb{R}$. Por otra parte, induce lineal isomorphisms $f_1 : \{2\pi\} \times \mathbb{R} \to E_0$$f_0 : \{0\} \times \mathbb{R} \to E_0$. Para mayor comodidad, vamos a $f= f_2^{-1} \circ f_1$.
4. Deducimos que el diffeomorphism $$E \simeq [0,2\pi] \times \mathbb{R} / \{ f(2\pi,x) \simeq (0,x) \}.$$ Without loss of generality, we may normalize $f$ so that $f= \operatorname{Id}$ or $f=- \operatorname{Id}$. Therefore, two cases happen: either $$E \simeq [0,2\pi] \times \mathbb{R} / \{(0,x) \sim (2\pi,x) \} \simeq \mathcal{C},$$ or $$E \simeq [0,2\pi] \times \mathbb{R} / \{(0,x) \sim (2\pi,-x) \} \simeq \mathbb{M}.$$

Answer 4

Usted puede demostrar que las dos línea de paquetes de tener diferentes la primera Stiefel-Whitney clases.

Añadido posterior: Esto muestra que los dos grupos no isomorfos, no es que estos dos grupos son los únicos (hasta el isomorfismo).