Un anillo elemento con una izquierda inversa, pero sin derecho a la inversa?

Question

¿Puedo hacer una sugerencia sobre cómo construir un anillo de $A$ tal de que no se $a, b \in A$ que $ab = 1$ pero $ba \neq 1$, por favor? Parece que las matrices cuadradas sobre un campo está fuera de la cuestión , porque de los determinantes, y que implica que ningún fiel finito-dimensional representación debe existir, y mi imaginación parece haber dado para arriba en mí :)

Answer 1

Tome el anillo de operadores lineales en el espacio de polinomios. A continuación, considere la posibilidad de (formal) de la integración y la diferenciación. La integración es inyectiva pero no surjective. La diferenciación es surjective pero no inyectiva.

Answer 2

Considerar el anillo de infinitas matrices que tienen un número finito distinto de cero elementos en cada fila y en cada columna y en la matriz $$a=\begin{pmatrix}0&0&0&\cdots\\1&0&0&\cdots\\0&1&0&\cdots\\\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\end{pmatrix}.$$

Un ejemplo canónico es el cociente $A$ de la libre álgebra $k\langle x,y\rangle$ por las dos caras, ideal generado por a $yx-1$.