$f \in {\mathscr R[a,b]} \implies f $ tiene una infinidad de puntos de continuidad.

Question

Reclamo: Si $f \in {\mathscr R[a,b]}$, $f$ tiene una infinidad de puntos de continuidad.

1.) He leído que es un corolario de la Lebesgue criterio de integrabilidad. Es posible demostrar la reclamación sin invocar el concepto de medida(o con menos de abstracción) ?

2.) Aquí es un intento: Dado $\epsilon > 0, \exists$ Partición, $P = \left\{ x_0 =a,...,x_n =b \right\} $ $[a,b]$ tal que $\sum^n_{i=1} (M_i -m_i)\triangle x_i < (b-a)\epsilon$ donde $M_i=sup \left\{ f(x) : x \in \triangle x_i \right\}$ $ m_i=inf \left\{ f(x) : x \in \triangle x_i \right\} $

Deje $(M_j -m_j)=min \left\{ M_i -m_i : i=0,...,n \right\} $. $ \implies (M_j-m_j)(b-a) \leq \sum^n_{i=1} (M_i -m_i)\triangle x_i < (b-a)\epsilon$ $ \implies (M_j-m_j)<\epsilon. $

Deje $ c\in (x_{j-1},x_j)$ $\delta$ ser cualquier número positivo tal que $(c-\delta, c+\delta) \subseteq (x_{j-1}, x_j)$.

De ello se desprende que $ \left| f(x) - f(c) \right| < \epsilon, $ siempre $ \left| x - c \right| < \delta $.

Desde $c$ es arbitrario y $[x_{j-1},x_j]$ es un intervalo, hay infinitamente muchos puntos de continuidad.

Hay algo mal con mi prueba desde Thomae de la función es un contraejemplo. Alguien podría señalar los errores en mi prueba? Gracias.

Answer 1

Encontrará la declaración de J. Pierpont - Conferencias sobre la Teoría de las Variables Reales Vol. 1 (1905) $\S$ 508 p. 348.
El teorema se anuncia diciendo ...Hay, sin embargo, un límite a la discontinuidad de una función más allá de la cual deja de ser integrable ...
Yo reescritura de la prueba en cuanto a la norma moderna de rigor, omitiendo algunos detalles.

Porque de la de Riemann criterio si $f$ es integrable en un (compacto) de intervalo, entonces, para cada a $\varepsilon>0$, existe un subinterval en el que la oscilación de la $f$ es de menos de $\varepsilon$. De hecho, a partir de $$\sum \omega_j\,(x_j-x_{j-1})<\varepsilon(b-a)$$ it is enough to consider the smallest of the $\omega_j$s'.
Recuerde también que, si $f$ es integrable en un intervalo, entonces es integrable en cada subinterval.

Entonces, si $I$ es un subinterval de $[a,b]$, usted puede construir una secuencia anidada $\{I\}_n$ de los subintervalos de $I$ tal que $I_{n+1}$ no tiene ningún extremo en común con $I_n$ y la oscilación de la $f$ $I_n$ es de menos de $1/n$.
Una conocida propiedad de la cifra real del sistema, la intersección de los intervalos de $\{I\}_n$ no está vacío.
Es fácil probar que, si $c$ es un punto de la intersección, a continuación, $f$ es continua en a $c\;$(tenga en cuenta que $c$ es un punto interior de cada $I_n\,$).
Por lo que cualquier subinterval de $[a,b]$, por pequeña que sea, contiene un punto de continuidad y el teorema queda demostrado.

Tenga en cuenta que, si no supongo que $I_{n+1}$ no tiene ningún extremo en común con $I_n$, sólo una cara de la continuidad puede ser asegurado.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, vamos a trabajar con la $[0,1]$.

LEMA 1 Supongamos que $$U(P,f)-L(P,f)<\frac{1}n$$ for some partition $P$ and natural number $n$. Then there exists $i$ such that $M_i-m_i<\frac 1$n.

P Si no, tendríamos $$U(P,f)-L(f,P)=\sum_{i=1}^m (M_i-m_i)\Delta x\geqslant\frac 1 n\sum_{i=1}^m \Delta x=\frac 1 n$$

contrariamente a nuestra hipótesis.

TEOREMA Si $f\in{\mathscr R}[0,1]$, $f$ es continua en un número infinito de puntos de $[0,1]$, por otra parte, este conjunto es denso en todas partes en $[0,1]$.

P Escoger una partición $P_1=\{t_1,t_2,\ldots,t_n\}$ tal que $U-L<1$. Entonces existe un $i$ que $M_i-m_i<1$. Si $i\neq 1,n$; elija $a_1=x_{i-1},b_1=x_i$. Otra cosa, elija $a_1\in(0,t_1)$ o $b_1\in (t_{n-1},b)$ (si $i=1$ o $i=n$, resp.). A continuación, $$\sup_{x\in [a_1,b_1]} f(x)<1$$

Desde $f\in{\mathscr R}[a_1,b_1]$, podemos repetir el procesto obtener $a_1<a_2<b_2<b_1$ tal que $\sup_{x\in [a_2,b_2]} f(x)<\frac 1 2$. Continuando con el proceso, se obtiene una secuencia de anidado cerrado intervalos de $I_n=[a_n,b_n]$ tal que $$(\sup-\inf)\{f:I_n\}<\frac 1 n$$

Por Cantor del teorema existe $\xi\in \bigcap_{n\geqslant 1}I_n$. En particular, desde la $a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n$,$\xi\neq a_i,b_i$. (Ex. Espectáculo $f$ es continua en a $x=\xi$.) Ahora, $f$ es integrable en $[0,\xi]$, $[\xi,1]$, así podemos repetir el proceso para obtener el $\xi_1,\xi_2$ dos diferentes puntos de continuidad. Por construcción, $\xi_1,\xi_2\neq \xi,0,1$. Podemos continuar este proceso para obtener, para cada $j$, $2^{j+1}-1$ puntos de continuidad. Así, este conjunto es infinito.

Escoja ahora $x\in[0,1]$, y considerar la posibilidad de $\left[x,x+\dfrac 1{2^n}\right]$ (el argumento debe ser modificado ligeramente para los extremos. A continuación, para cada una de las $n$ podemos encontrar por encima de la construcción de un punto de continuidad de la $\mu_n \neq x$, y es evidente $\mu_n\to x$.

Answer 3

@Tony Piccolo:

Puedo saber si he interpretado correctamente?

Dado $\epsilon_1 > 0$, $\exists$ intervalo cerrado $ I_{1} \subset [a,b], $ de manera tal que la oscilación de $f$$ I_{1} < \epsilon_1$ .

Dado $\epsilon_2 < \epsilon_1, \exists I_2 \subset I_1$ de manera tal que la oscilación de $f$ $I_2< \epsilon_2$ .... Procediendo de una manera similar, se puede construir una secuencia anidada $\{I\}_n$ $I_1$ tal que $I_n$ no tiene en común puntos extremos de la con $I_{n+1}$.

Si sólo requerimos $f$ a ser limitado en $[a,b]$, entonces podríamos no ser capaces de construir una $\{I\}_n$ como se describió anteriormente. Por ejemplo, definir $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ $f(x) = 1,$ si $x \in \mathbb{Q}$$f(x) =0$, de lo contrario, es decir,$f \notin R[0,1]$. A continuación, $\exists \epsilon_o = \frac{1}{2}$ de manera tal que la oscilación de $f$ $I > \epsilon_o,\forall I\subseteq [0,1]?$