funciones que enviar límite de puntos para limitar los puntos de

Question

Un ejercicio de Munkres establece que:

Supongamos que $f: X \to Y$ es continua. Si $x$ es un punto límite de un subconjunto de a$A$$X$, es necesariamente cierto que $f(x)$ es un punto límite de $f(A)$?

Creo que la respuesta es no basado en un ejemplo de función constante, pero tengo curiosidad por saber cómo corregir la declaración, por lo que se convierte en realidad. Por ejemplo, esta es una afirmación correcta, o tengo que agregar más condiciones en $f$ o $A$?

Supongamos que $f: X \to Y$ es continua. Si $x$ es un punto límite de un subconjunto de a $A$ $X$ tal que $f(A)$ tiene límite de puntos, a continuación, $f(x)$ es un punto límite de $f(A)$.

Answer 1

No hay un equivalente a la condición de ser continua: $f[\overline{A}] ⊆ \overline{f[A]}$ todos los $A ⊆ X$. Si $x$ es un punto límite de $A$$x ∈ \overline{A}$$f(x) ∈ \overline{f[A]}$. Si $f(x) ∈ \overline{f[A]} \setminus f[A]$, entonces es un punto límite de $f[A]$. Así que si $f[A]$ no tiene puntos aislados entonces se mantiene.

No es suficiente para asumir que $f[A]$ tiene límite de puntos desde siempre se puede tomar un topológica de la suma de la identidad en la no-espacio discreto (por lo $f[A]$ puede contener un punto límite) y una función constante (por lo que la proposición no tienen).