Entero soluciones a $ x^2-y^2=33$

Question

Actualmente estoy tratando de resolver una programación pregunta que me obliga a calcular todos los enteros soluciones de la siguiente ecuación:

$x^2-y^2 = 33$

He estado buscando en internet una solución ya, pero no pude encontrar nada para este tipo de ecuación. Hay alguna forma de calcular y la lista de los enteros soluciones de esta ecuación?

Gracias de antemano!

Answer 1

Supongamos que $x=y+n$; a continuación,$x^2-y^2=y^2+2ny+n^2-y^2=2ny+n^2=n(2y+n)$. Por lo tanto, $n$ $2y+n$ debe ser complementaria de los factores de $33$: $1$ y $33$ o$3$$11$. La primera pareja le da $2y+1=33$, lo $y=16$$x=y+1=17$. El segundo da $2y+3=11$, lo $y=4$$x=y+3=7$. Como un cheque, $17^2-16^2=289-256=33=49-16=7^2-4^2$.

Si desea entero negativo soluciones, que tienen también los pares de $-1$$-33$, e $-3$$-11$.

Answer 2

Tenemos $x^2-y^2=33$ fib $(x-y)(x+y)=33$. Así, para resolver la ecuación podemos encontrar todos los pares ordenados $(u,v)$ tal que $uv=33$. A continuación, establecemos $x-y=u$$x+y=v$, y resolver.

Tenemos $x=\dfrac{v+u}{2}$ $y=\dfrac{v-u}{2}$ . Desde $u$ $v$ será extraño, $u+v$ $v-u$ serán aún, por lo $x$ $y$ va a ser números enteros.

Las posibilidades de $u$$-33,-11,-3,-1,1,3,11,33$. Las correspondientes posibilidades de $v$$-1,-3,-11,-33,33,11,3,1$. Hay $8$ soluciones, pero sólo dos "muy diferente".

Por ejemplo, supongamos $u=3$$v=11$. A continuación,$x=\dfrac{11+3}{2}=7$$y=\dfrac{11-3}{2}=4$.

Generalización: Si $n$ es de la forma$4k+2$, $n$ no es la diferencia de dos cuadrados. Si $n$ es impar, las representaciones de $n$ como diferencia de dos cuadrados se encuentran exactamente igual que el $n=33$ de los casos se discutió anteriormente. Si $n$ es de la forma $4k$, podemos hacer la misma cosa, pero encontrar todos los pares de $(u,v)$ tal que $uv=n$ e $u$ $v$ son incluso.

Answer 3

Sugerencia $\rm\ \ \ \begin{eqnarray} 3\, &=&\, \color{#0A0}2^2-\color{#C00}1^2\\ 11\, &=&\, \color{blue}6^2-5^2\end{eqnarray}$ $\,\ \Rightarrow\,\ $ $\begin{eqnarray} 3\cdot 11\, &=&\, (\color{#0A0}2\cdot\color{blue}6+\color{#C00}1\cdot 5)^2-(\color{#0A0}2\cdot 5+\color{#C00}1\cdot\color{blue}6)^2\, =\, 17^2 - 16^2\\ &=&\, (\color{#0A0}2\cdot\color{blue}6-\color{#C00}1\cdot 5)^2-(\color{#0A0}2\cdot 5-\color{#C00}1\cdot\color{blue}6)^2\, =\, \ 7^2\ -\ 4^2 \end{eqnarray}$

Answer 4

Tenga en cuenta que esto es equivalente a la solución de $(x+n)^2-x^2=33$,$(x+n)^2-x^2=(2x+n)n$. Desde $33=3\cdot 11$, vemos que las soluciones se $n=3,x=4$ $n=11,x=-4$ $n>0$ y tanto de ti $-1$.

Answer 5

Todo esto está bien, pero todos tienen el conocimiento inicial de la primer composición de 33 11*3, pero imagina que no lo sabía. No se saben sin mucho/ un poco de ensayo y error , si yo en lugar de 33 tomó 1771 lugar y declaró x^2-y^2=1771, a continuación, sólo unos pocos, iba a conocer los factores primos de 1771

No se conoce ninguna manera de solucionar este problema, a demás de prueba y error. Asimismo, con 33, si usted no tenía conocimiento de que 11*3= 33

Usted tendrá que correr a través de este cálculo: sqrt(1771)=42.08 y mod(1171,4)=3 Mod 3 X^2 es par y y^2 es impar. Tenía el resultado ha sido 1, fue opuesto.

Usted puede escribir la ecuación para y^2= x^2-1771, por lo tanto y y x deben ser números enteros, x tendrá aún raíz e y tendrán una extraña raíz. Entero par más próximo después de 42.08 es de 44, por lo que es donde empiezo. (x^2 tiene que ser más grande que 42.08)

Comenzamos nuestro ensayo y error: 44^2-1771= y^2 46^2-1771= y^2 48^2-1771= y^2 Si se calculan los 3 primeros, que generará una y^2, que no es un cuadrado perfecto, es decir, y no se entero.

Pero el 50^2= 2500-1771= 729 y que le da a las raíces sqrt(2500)= 50 y sqrt(729)=27, por lo que una solución es (50+27)=77 y el otro es (50-27)=23 y 77*23= 1771 Sigue el formato (x+y)(x-y)= X^2-Y^2 y (50+27)(50-27)= 1771

Si pudiéramos encontrar una manera de llegar directamente a 2500 o 729, íbamos al mismo tiempo obtener una ventaja a resolver algunos de los del Milenio de las matemáticas. problemas. Estoy tratando, pero no han tenido éxito.

Al profundizar en este, usted puede encontrar algunos de los cortes cortos, lo que puede reducir el número de prueba y error, pero en la actualidad no hay maneras de reducir a un solo ciclo. Si lo encuentras, me avisas.

En este caso hay otras soluciones, porque el presidente de la composición de 1771 es 7*11*23 y nos acaba de resolver (7*11)*23 El producto no está cambiando para otras combinaciones, pero la suma de (x+y) y la diferencia (x-y) está cambiando, lo que conduce a diferentes cuadrados perfectos, pero con la misma función que su diferencia es de 1771.

Si sólo se encuentran UNA solución, su diferencia es un número primo. Un número primo es siempre la diferencia de 2 consecutivos plazas y no tienen otras soluciones, de esta combinación, mientras que el compuesto de números por lo menos 2 soluciones, la primera composición de 2 consecutivos plazas y al menos uno más.

Es asombroso y sorprendente, que no hay manera, pero la fuerza bruta, para el factor de un número impar.... sin embargo, mientras eso pasa, tenemos nuestras transacciones financieras bastante seguro, ellos se basan en el excesivo tiempo que se necesita para el factor de un producto de 2 números primos grandes.