Lindeberg CLT para exponencial de las variables independientes

Question

Crossposted en matemáticas.stackexchange: CLT para independiente, pero no idénticamente distribuidas exponencial de las variables

Este problema es de auto-estudio para mi examen de calificación.

Problema

Supongamos $(e_n)_{n\ge 1}$ son independientes exponencialmente distribuido variables aleatorias con $E(e_n)=\mu_n$. Si $$ \max_{i\le n}\frac{\mu_i}{\sum^n_{j=1}\mu_j}\to 0 $$

entonces $$ \sum^n_{i=1}(e_i-\mu_i)/\sqrt{\sum^n_{j=1}\mu_j^2}\implica la N(0,1). $$

He intentado una solución mediante el Liapunov condición, pero de alguna manera se quedan atascados en el último paso en mi justificación.

En el enlace de arriba, otro usuario ha intentado una respuesta con la Lindeberg condición, pero de alguna manera las condiciones dadas en el problema no se ajustan a la solución de la hipótesis.

¿Alguien tiene consejos sobre cómo proceder?

Gracias!

Answer 1

Al $\mu_j=1/j$ (que satisface las hipótesis del libro), parece que la secuencia de $\left(\sum^n_{i=1}(e_i-\mu_i)/\sqrt{\sum^n_{j=1}\mu_j^2}\right)_{n\geqslant 1}$ converge a una constante, además de una distribución de Gumbel (véase la Subsección 5.3 en Un uniforme asintótica de expansión para ponderado sumas de exponencialespor J. S. H. van Leeuwaarden y N. M. Temme.

Por lo tanto, la condición $$\tag{C} \lim_{n\to \infty}\max_{1\leqslant i\leqslant n}\frac{\mu_i^ 2}{\sum_{j=1}^n \mu_j^2 } =0$$ parece ser la buena. Puede ser extraído por el método descrito en el enlace de la pregunta, o en una forma más general aquí (en particular, parece que no tenemos necesidad de asumir las variables aleatorias tienen distribución exponencial, pero sólo una varianza finita). En ambos casos, Lindeberg del teorema del límite central se utiliza.

En general, si queremos probar un teorema del límite central para $s_n^{-1}\sum_{j=1}^nX_{n,j}$ donde $(X_{n,j})_{j=1}^n$ son independientes y centrado, y $s_n^2=\sum_{j=1}^n\operatorname{Var}(X_{n,j})$, podemos utilizar Lindeberg de la condición, es decir, $$\forall \varepsilon\gt 0, \quad \lim_{n\to \infty} \frac 1{s_n^2}\sum_{j=1}^n\mathbb E\left[X_{n,j}^2\mathbf 1\{|X_{n,j}|\gt \varepsilon s_n \} \right] =0.$$
Esto implica que $s_n^{-1}\max_{1\leqslant j\leqslant n}\operatorname{Var}(X_{n,j})\to 0$. En nuestro caso, esto es equivalente a la condición (C).