Creo que hay una posibilidad de encontrar un poco de orden en este desastre, pero no es así de fácil. La solución más sencilla parece ser escribir un programa que enumera y el recuento de las contraseñas, pero un manual de solución es, sin duda dentro de su alcance.
La descomposición del problema es el estudio de centro-evitar secuencias, porque sabemos que cada contraseña puede ser construido mediante la combinación de los cinco y centro-evitar secuencias. Hay algunos hechos acerca de estas que les hace no demasiado difícil de clasificar y contar.
Lo primero de todo podemos probar que cada centro-evitar la secuencia puede estar contenida en un mínimo del sector con un ángulo de entre $0$ y $7\pi/8$. Esto es debido a que el argumento en torno a los $5$ que varía continuamente y el argumento tiene un mínimo y un máximo y que no puede tener $2\pi$ de diferencia o más. No podemos tener $2\pi$ porque eso significaría que atravesará el mismo dígito en el mínimo y el máximo. No puede ser más grande porque eso significaría que entre el máximo y el mínimo habrá un borde que tendrá que pasar de ronda, tanto el máximo y el mínimo.
Siguiente hecho es que la dirección de la agujas del reloj/en sentido anti-horario) no se puede cambiar arbitrariamente. De hecho, se puede cambiar solamente cerca de uno de los extremos de la cadena. Podemos ver esto porque si es para cambiar la dirección a la que debe regresar a un argumento que ha sido omitido en el camino a la estación y las únicas posibilidades son de la esquina, que están rodeados por dos bordes y venía de uno de ellos, de vuelta a la otra y, a continuación, se bloquea en la esquina.
La tercera es que, dado que la cadena no cambiar de dirección, la cadena está determinada únicamente por la mínima del sector que lo contiene, las esquinas que son omitidos y la dirección que ha tomado.
Similar es el mismo que el de la cadena de cambios de dirección en el extremo de la cadena, similar dado que la cadena cambia de dirección al inicio de la cadena y similares, dado que la cadena cambia de dirección en ambos extremos. Dado que podemos identificar el cambio de dirección como cuando la cadena se convierte en una esquina, donde es atrapado (por ejemplo, la secuencia de 2-6-3 cambia de dirección al final, ya es la 3 que se queda atrapado).
Cuarto, si la cadena cambia de dirección en cualquiera de los extremos a la mínima que el sector tiene que terminar en un borde en el extremo y la esquina más cercana en el sector no se puede omitir. De lo contrario cualquier esquina puede ser omitido en el sector.
Quinto sectores de la misma longitud son todos congruentes, ya que tienen un rincón en un extremo y un borde en el otro. Sectores de la misma longitud impar sin embargo se diferencian en que tienen cualquiera de las esquinas o los bordes en ambos extremos, pero dado que tienen el mismo tipo en los extremos que son congruentes. La excepción de la diferencia está en los sectores de longitud 1 que son todos congruentes.
Ahora estamos listos para catalogize las cadenas y el número de ellos. Vamos a clasificar por el tipo de mínimos del sector están en junto con el número de esquinas que son omitidos y si se convierten en los extremos (no teniendo en cuenta que puede tomar dos dirección para los sectores de longitud mayor que 1):
$$\begin{array}{c|cccccc}
& 0 & -1 & -2 & -3 & 0_t & -1_t & -2_t & 0_{tt} & -1_{tt} \\
\hline \\
1 & 1 & & & & \\
2 & 1 & & & & \\
3_c & 1 & & & & \\
3_e & 1 & 1 & & & 1 \\
4 & 1 & 1 & & & 1 \\
5_c & 1 & 1 & & & \\
5_e & 1 & 2 & 1 & & 1 & 1 & & 1\\
6 & 1 & 2 & 1 & & 1 & 1 & &\\
7_c & 1 & 2 & 1 & & \\
7_e & 1 & 3 & 3 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1\\
8 & 1 & 3 & 3 & 1 & 1 & 2 & 1\\
\end{array} $$
Uno puede notar que la tabla se llena con los coeficientes binomiales, las columnas para los solos de giro de las cadenas está vacío en la línea de $5_c$ y $7_c$ porque para la cadena a convertir en uno de los extremos del sector el sector tendría que termina en un borde. Por la misma razón por la que incluso líneas de vacío de doble giro de las cadenas, ya que sólo termina en un borde en uno de sus extremos.
Entonces podemos resumir las filas de contar todas las cadenas de cada tipo de sector:
$$\begin{array}{c|cccccc}
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\hline \\
1 & 1 \\
2 & & 1 \\
3_c & & & 1 \\
3_e & & 1 & 3 \\
4 & & & 1 & 2 \\
5_c & & & & 1 & 1 \\
5_e & & & 1 & 4 & 4 \\
6 & & & & 1 & 3& 2 \\
7_c & & & & & 1 & 2 & 1 \\
7_e & & & & 1 & 5 & 8 & 4 \\
8 & & & & & 1 & 4 & 5 & 2 \\
\end{array}$$
Entonces es una cuestión de contar posibilidades. Por ejemplo, si queremos contar el número de contraseñas con cuatro dígitos tenemos que ser un centro de evitar cadena de longitud 4, un centro de evitar cadena de longitud 3 con un 5 en cada extremo o dos centro-evitar las cadenas de longitud 2 y 1 con un 5 en el medio.
De acuerdo a las cadenas de longitud 4 son de $96$, tenemos aquí el uso que el número de la longitud del sector son ocho de cada tipo y de longitud impar son cuatro de cada tipo. Las cadenas de longitud 3 son de $56$ y estos se añaden a dos soluciones para cada uno (uno que empieza con 5 y que termina con 5). Finalmente, el número de cadenas de longitud 2 son 24 y el posible número de cadenas de longitud 1 que no se intersecan la primera es de 6 (porque ninguno de los otros ocho números), esto hace dos conjunto de soluciones (que empiezan o terminan con una cadena de longitud dos) de 144 casos. La adición de ellos se obtiene:
$$96 + 56 + 56 + 144 + 144 = 496$$
Por más soluciones que encontrará en el siguiente complicación, al considerar la solución que consiste de una cadena de longitud mayor que uno, seguido de 5 y termina en una cadena de longitud más de uno vamos a tener que a la mínima que el sector de las cadenas no se cruzan - no podemos usar las esquinas omitidos por la otra cadena ya que podría quedar atrapado, a continuación, (podríamos longitud de uno ya no es un problema).
Para el caso de los cinco hemos de comenzar por el recuento de las cadenas de longitud cinco que son de 152 por el mismo método, como se muestra anteriormente, ya sabemos que las cadenas de longitud cuatro son 96 (cada uno correspondiente a dos posibilidades, con el 5 al inicio o al final), las cadenas de longitud tres son 56 y el accopanying de la cadena de la longitud de uno de 5 para cada uno de los aquí tenemos dos casos para cada par - que empiezan o terminan con la cadena de longitud uno. Ahora para el caso de que tenemos dos cadenas de longitud dos tenemos que considerar cada par de categorías de sectores. Tenemos el caso de dos sectores de la longitud de los dos donde podamos par de ellos en 40 formas (primera podemos seleccionar cualquiera de los ocho, pero que deja sólo cinco posibilidades para seleccionar el segundo). Cada sección tiene dos cadenas, por ello hemos 160 soluciones de este caso. De manera similar podemos ver la combinación de un sector de longitud 2 y uno de longitud 3 (borde a borde) se puede hacer en 16 (primera selección del sector de longitud 3 en cuatro caminos y, a continuación, dejando sólo cuatro posiblemente sectores de longitud 2), cada uno de estos tiene dos cadenas y podemos empezar o terminar en el sector de longitud dos, esto le da 128 posibilidades. Por último tenemos par de sectores de longitud 3, una vez que se selecciona la primera es que sólo salen una detrás y tenemos dos cadenas, cada una dando 16 posibilidades:
$$152 + 96 + 96 + 280 + 280 + 160 + 128 + 16 = 1208$$
Por otro lado, si es sólo el gran número total de combinaciones que es de interés es probablemente más fácil de calcular que más directamente. Para hacer esto tenemos que considerar cada uno de los pares del sector de tipos y cómo muchas cadenas que estos contienen independientemente de la longitud de la cadena. Además necesitamos saber el número de cadenas de diferente longitud para contar el número de contraseñas que contengan una cadena de longitud mayor que uno seguido de cinco y una cadena de longitud uno. A continuación, debemos considerar todas las cadenas seguida o precedida por cinco. Y la combinación de la cadena de la longitud de uno de cinco y una cadena de longitud uno y, finalmente, el único de los cinco:
$$
160+128+512+576+128+576+384+16+256+192+288+256+768+256+288+\\
288+560+768+912+704+240+\\
24+48+24+96+144+48+216+288+96+432+576+\\
56+1 = 10305
$$
Este método de resolver esto explica algunas de las observaciones realizadas por otras soluciones:
La razón por la que el número de contraseñas de longitud mayor que uno es divisible por cuatro (ocho) de la siguiente manera, debido a la construcción con el centro, evitando la cadena (hay cuatro o de ocho sectores de cada tipo y de cada sector contiene las cadenas determinado por, entre otros, la dirección general de la cadena).
La razón hay más soluciones a partir de un borde o una esquina es porque los que comenzando en el centro es sólo el único 5 o un 5 seguido por una cadena, mientras que la partida en un borde o una esquina incluye tanto todas las cadenas (que ya se hace uno menos de los que comenzando en el centro) y una cadena seguida de un cinco (lo que duplica las posibilidades), entonces tenemos todo lo que luego continúa con una cadena.
