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Series de potencias y singularidad

Consideremos la serie de potencias $\sum a_n z^n$. Dado que $a_n$ converge a $0$, prueba que $f(z)$ no puede tener un polo en el círculo unitario, donde $f(z)$ es la función representada por la serie de potencias en la pregunta.

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He pensado una respuesta para esto. Dado que $a_n$ converge a $0$, podemos escribir $\lvert a_n \rvert <1$ para todo $n > N_0$. A partir de aquí, podemos decir que el radio de convergencia de la serie de potencias es mayor o igual a $1$. Si el radio de convergencia es mayor que $1$, la serie converge en el círculo unitario. Si es igual a $1$, entonces los puntos en el círculo unitario no pueden ser una singularidad aislada. Pero no estoy seguro de mi respuesta.

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GmonC Puntos 114

Una serie de potencias cuyos coeficientes tienden a $0$, y cuyo radio de convergencia es por lo tanto al menos $1$, puede definir una función que tiene singularidades aisladas en el círculo unitario; solo esas singularidades aisladas no pueden ser polos. Por lo tanto, tu razonamiento no es correcto y esta afirmación necesita ser modificada.

Toma por ejemplo la serie de potencias con $a_0=0$ y $a_n=\frac1n$ para $n>0$. Esto define la función $f: z\mapsto\ln(\frac1{1-z})$ que tiene una singularidad aislada en $1$.

Así que en lugar de singularidades, deberías pensar en lo que significa tener un polo.

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