Consideremos la serie de potencias $\sum a_n z^n$. Dado que $a_n$ converge a $0$, prueba que $f(z)$ no puede tener un polo en el círculo unitario, donde $f(z)$ es la función representada por la serie de potencias en la pregunta.
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He pensado una respuesta para esto. Dado que $a_n$ converge a $0$, podemos escribir $\lvert a_n \rvert <1$ para todo $n > N_0$. A partir de aquí, podemos decir que el radio de convergencia de la serie de potencias es mayor o igual a $1$. Si el radio de convergencia es mayor que $1$, la serie converge en el círculo unitario. Si es igual a $1$, entonces los puntos en el círculo unitario no pueden ser una singularidad aislada. Pero no estoy seguro de mi respuesta.